Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Тема: Дифференциальные уравнения. Преобразования Лапласа.
Практическое занятие 2
Для решения задач анализа и синтеза САР применяются математические модели. Уравнения систем управления могут быть записаны в виде дифференциальных уравнений высоких порядков. Решение таких уравнений алгебраическими способами вызывают затруднения и требуют больших вычислительных мощностей. Поэтому для решения уравнений системы используют преобразования Лапласа (операционное исчисление).
Задание: выполнить преобразование Лапласа следующих функций:
Прямым преобразованием Лапласа функции действительного переменного называется функция комплексного переменного определяемая формулой . (1) В случае, если функция существует, то функция действительного переменного называется оригиналом, а функция комплексного переменного - ее изображением. Если функция является оригиналом, а - ее изображением, то в любой точке t, где оригинал непрерывен, имеет место формула , (2) где интегрирование производится по любой бесконечной прямой , лежащей в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла (1). Равенство (2) определяет обратное преобразование Лапласа функции комплексного переменного . Результат обратного преобразования - функция действительного переменного . В Mathcad можно в символьном виде выполнить как прямое так и обратное преобразования Лапласа. 1 способ: Чтобы выполнить прямое преобразование Лапласа, необходимо: 1. Ввести выражение, которое нужно преобразовать. 2. Щелкнуть мышью на переменной преобразования. 3. В меню Symbolics выбрать строку Transform, а затем команду Laplace. Mathcad возвращает функцию переменной , которая определяется формулой (1). Отметим следующее. Результат преобразования, который возвращает Mathcad, является функцией аргумента . Если преобразуемое выражение уже содержит идентификатор , то Mathcad избегает неоднозначности, возвращая функцию переменной . 2 способ: С помощью панели Символьных функций. Примеры: , ,
Чтобы выполнить обратное преобразование Лапласа, необходимо: Ввести выражение, которое нужно преобразовать. Щелкнуть мышью на переменной преобразования. В меню Symbolics выбрать строку Transform, а затем команду InvLaplace. Mathcad возвращает функцию аргумента , которая определяется формулой (2). Отметим следующее. Результат преобразования, который возвращает Mathcad, является функцией аргумента . Если преобразуемое выражение уже содержит идентификатор , то Mathcad избегает неоднозначности, возвращая функцию переменной . Пример. Выполнить обратное преобразование Лапласа функции , где - аргумент функции комплексной переменной , , - действительные постоянные числа. Если выполнить все вышеуказанные действия, то в результате будем иметь: Исходная функция: Результат символьного обратного преобразования Лапласа: . Задание . .
Пример. С помощью преобразования Лапласа решить дифференциальное уравнение при начальных условиях , = 1 = 2. Решение. Найдем прежде всего с помощью Mathcad изображение по Лапласу правой части исходного дифференциального уравнения:
ввод правой части уравнения результат преобразования по Лапласу правой части уравнения выполненного с помощью Mathcad . Изображения по Лапласу производных искомой функции с учетом заданных начальных условий будут: имеет изображение, равное ; имеет изображение, равное . Внимание! Изображения по Лапласу производных функции получены без использования Mathcad. Теперь можно ввести исходное дифференциальное уравнение в изображении по Лапласу . При вводе этого уравнения знак равенства вводится одновременным нажатием клавиш < Ctrl > и < = >. Аргумент функции следует опустить. С помощью Mathcad решим это уравнение относительно . Для этого выделим неизвестную переменную , щелкнув на ней указателем мыши. Затем следует воспользоваться меню Symbolics, выбрать строку Variable и команду Solve. В результате чего получаем К этому выражению применим обратное преобразование Лапласа так, как это было сделано в предыдущих примерах. Имеем . Мы получили решение задачи в изображении по Лапласу, которое имеет вид и ее решение во временной области .
|