Задание 1. Для графа состояний «замена по наработке», изображенном на рисунке 1, составить систему уравнений Колмогорова и найти финальные вероятности πiв каждом

Для графа состояний «замена по наработке», изображенном на рисунке 1, составить систему уравнений Колмогорова и найти финальные вероятности π _i в каждом состоянии в соответствии с приведенными ниже вариантами. Общее условие для всех вариантов:

.

Рисунок 1

Как пользоваться таблицей? Находите номер своего варианта (например, 8) и записываете в условии работы данное значение в качестве условия.

1. Кабков П.К. Вероятнотно-статистические модели эксплуатации лететельных аппаратов: часть 2. – М, 2006. (Полумарковские процессы).
2. Кабков П.К. Вероятнотно-статистические модели эксплуатации лететельных аппаратов: пособие к практичеким занятиям – М, 2005.

Комментарии: на рисунке в условии представлен граф по наработке. Этот граф описываетодну из операций замены агрегата, которая часто используется в эксплуатации: замена после отработки установленного ресурса (замена по наработке).

Здесь в графе представлены следующие состояния агрегата:

И- исправен: Н- неисправен, В- восстанавливается, С- хранится на складе. Стрелки обозначают переходы между состояниями интесивности P_ij, подписанные на стрелках вероятности переходов.

(более подробно, что такое граф можно узнать в книге Вентцель Е.С. Введение в исследование операций).

ПРИМЕР

Рассмотрим пример (для другого графа, также часто используемого в эксплуатации: замена при отказе агрегата): Здесь в графе представлены следующие состояния агрегата:

И- исправен: Н- неисправен, В- восстанавливается, С- хранится на складе. Стрелки обозначают переходы между состояниями интесивности Pij, подписанные на стрелках вероятности переходов. Значения вероятностей перехода следующие: (замена идет только при отказе агрегата), (как и в предыдущем случае).

Что делать с этим графом? Составить систему уравнений Колмогорова для полумарковских процессов::

,

,

,

,

Нужно использовать мнемоническое правило: если стрелка перехода выходит из состояния - ставится знак минус, если входит в данное состояние - ставится знак плюс.

То есть пишем интересующее состояние. Смотрим входящие стрелки: умножаем π _{состояния откуда стрелка выходит} на интенсивность стрелки, далее выходящие стрелки (знак минус): умножаем π _{состояния откуда стрелка выходит} на интенсивность стрелки выходящей.

Составить систему уравнений Колмогорова для полумарковских процессов для стационарного случая (производные равны нулю).

Для состояния И: , (1)

для состояния Н: , (2)

для состояния В: , (3)

для состояния С: , (4)

Одно из этих уравнений можно «выбросить», вместо него записать нормировочное условие:

Из этих уравнений следует выразить все , т.е. . В данном случае значения получаются равными: .

Таким образом, вероятности найдены.