Свойства числовых рядов

Раздел 7. Числовые и степенные ряды

Числовые ряды

Основные определения

Определение. Пусть - произвольная числовая последовательность. Формальное выражение вида

называется числовым рядом. Числа называются членами ряда, а – общим членом ряда.

Определение. Суммы , называются частичными суммами ряда.

Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм. При этом число называется суммой ряда:

Определение. Если последовательность частичных сумм ряда не имеет предела, или имеет бесконечный предел, то ряд называется расходящимся.

Свойства числовых рядов

1) Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если отбросить или добавить произвольное конечное число членов ряда.

2) Рассмотрим два ряда и , где С – постоянное число.

Теорема. Если ряд сходится и имеет сумму равную S, то ряд также сходится, и имеет сумму равную .

3) Рассмотрим два ряда и . Суммой (разностью) этих рядов называется ряд , где элементы получены в результате сложения (вычитания) исходных элементов с одинаковыми номерами.

Теорема. Если ряды и сходятся и их суммы равны соответственно и , то ряд тоже сходится и его сумма равна .

Сумма (разность) двух сходящихся рядов также является сходящимся рядом.

Сумма сходящегося и расходящегося рядов является расходящимся рядом.

О сумме двух расходящихся рядов общего утверждения сделать нельзя.

При изучении рядов решают в основном две задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда.