Контрольные работы

Типовые вопросы и задачи для контрольной и экзаменационной работ:

1. Решите задачу Коши и укажите промежуток наибольшей длины, на котором решение этой задачи определено.

2. Решите задачу Коши и вычислите для

решения этой задачи значение .

3. Найдите решение уравнения , удовлетворяющее условию . Вычислите для этого решения значение .

4. Вычислите действительную часть числа .

5. Найдите все решения уравнения .

6. Решите задачу Коши и вычислите для решения этой задачи значение .

7. Для последовательности , удовлетворяющей рекуррентному уравнению и условию , вычислите величину .

8. Укажите все возможные значения дроби для всех тех решений рекуррентного уравнения , для которых она определена.

9. Найдите все значения параметра , при которых нулевое решение уравнения асимптотически устойчиво.

10. Укажите все возможные значения дроби для всех тех решений уравнения , для которых она определена.

11. Решите уравнение .

12. Решите уравнение .

13. Решите уравнение .

14. Решите уравнение .

15. Решите задачу Коши .

16. Решите задачу Коши .

17. Решите уравнение .

18. Решите уравнение .

19. Решите уравнение .

Темы рефератов, докладов, презентаций:

1. Примеры математических моделей в экономике, описываемых дифференциальными уравнениями.

Примеры моделей и виды дифференциальных уравнений описывающих их.

2. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.

Общие понятия для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка (решение уравнения, интегральная кривая, задача Коши для уравнения в нормальной форме).

3. Уравнение первого порядка в дифференциалах и методы его решения.

Уравнение с разделяющимися переменными: метод решения, пример. Однородное уравнение: метод решения, пример. Уравнение в полных дифференциалах: метод решения, пример.

4. Линейное уравнение первого порядка.

Методы решения. Метод вариации постоянной. Примеры.

5. Уравнение Бернулли.

Метод решения. Примеры.

6. Комплексные числа.

Комплексные числа. Арифметические действия над комплексными числами. Модуль и аргумент числа. Тригонометрическая и экспоненциальная записи комплексного числа. Решение уравнений в комплексных числах. При решении, каких видов дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений применяются комплексные числа.

7. Системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме.

Общие понятия и свойства (матрица системы, решение системы, задание начальных значений).

8. Линейная однородная система (принцип суперпозиции и фундаментальная матрица решений, общее решение).

9. Структура общего решения линейной неоднородной системы. Вариация постоянных.

10. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Критерии устойчивости нулевого решения линейного однородного уравнения.

11. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Методы нахождения частных решений неоднородного уравнения.

12. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка.

Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме).

13. Методы понижения порядка дифференциальных уравнений. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков.

14. Методы решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

15. Количественный и качественный анализ автономных (стационарных) систем обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальной форме.

Общие понятия и свойства (решение системы, фазовая траектория, положения равновесия, циклы).

16. Устойчивые и неустойчивые положения равновесия. Полный анализ однородной системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами для случая двух неизвестных.

17. Исследование нелинейных автономных систем вблизи положений равновесия по линейному приближению. Приложения к исследованию экономических моделей.

18. Примеры математических моделей в экономике, описываемых разностными уравнениями.

19. Разностные (рекуррентные) уравнения первого порядка. Общие понятия для рекуррентного уравнения первого порядка в нормальной форме (решение уравнения, начальные условия, задача Коши, решение рекуррентного уравнения подстановкой).

20. Линейное уравнение первого порядка (арифметическая и геометрическая прогрессии, частичные суммы и произведения, метод вариации постоянной).

21. Разностные (рекуррентные) уравнения второго порядка.

Общие понятия (решение уравнения, начальные значения для уравнения в нормальной форме). Решение уравнения подстановкой.

22. Линейные разностные (рекуррентные) уравнения.

Принцип суперпозиции и алгоритм построения общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Структура общего решения линейного неоднородного уравнения. Методы нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения. Уравнения с постоянными коэффициентами.

23.Системы линейных разностных (рекуррентных) уравнений.

Общие понятия и свойства (матрица системы, решение системы, начальные условия). Решение подстановкой. Линейная однородная система (принцип суперпозиции и фундаментальная матрица решений, общее решение). Методы решения систем линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

24. Критерии устойчивости нулевого решения линейной однородной системы. Структура общего решения линейной неоднородной системы. Частные решения. Элементы количественного и качественного анализа нелинейных разностных (рекуррентных) уравнений.

25. Приложения систем линейных разностных (рекуррентных) уравнений к исследованию экономических моделей.

16. Методические указания по изучению дисциплины (или её разделов) и контрольные задания для студентов заочной формы обучения (если необходимо указать)

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единиц
(из расчета 1 ЗЕТ= 36 часов);

108 часов.