Разработка торфяных месторождений. 24 страница

Соч.: Балтийцы вступают в бой, Калининград, 1972; Балтийцы наступают, [Калининград], 1968.

" ТРИБЮН КОМПАНИ " (" Tribune Company" ), издательский концерн в США. Осн. в 1919. Издаёт газеты " Нью-Йорк дейли ньюс" (" New York Daily News" ), " Чикаго трибюн" (" Chicago Tribune" ) и др. Является собственником неск. радиостанций, предприятий бум. пром-сти и пресс-синдиката " Чикаго трибюн" - " Нью-Йорк дейли ньюс", поставляющего материалы для значит. числа газет и др. печатных изданий.

ТРИВАНДРАМ, город в Индии; см. Тируванантапурам.

ТРИВИУМ (лат. trivium, букв.- перекрёсток трёх дорог, от tres - три и via - путь, дорога ), три гуманитарные науки - грамматика, риторика и диалектика, составлявшие в средние века первый и главный цикл " се ми свободных искусств", изучавшихся на артистич. (общеобразоват. подготовительных ) ф-тах ун-тов, в иезуитских коллегиумах и др.

ТРИГАТРОН [от англ. trigger - пусковое устройство, пусковой сигнал и (э лек) - трон], тригитрон, управляемый разрядник с холодными электродами, в к-ром разряд между двумя осн. электродами возбуждается под действием управляющего импульса напряжения, приложенного к третьему (управляющему ) электроду. По конструкции Т. бывают открытые (разряд происходит в воздухе ) и герметизированные (электроды заключают в стеклянную или керамич. оболочку, наполненную газом при давлении 10-10³ кн / м ² ). Управляющий электрод располагают между осн. электродами или в полости одного из них. К сер. 70-х гг. 20 в. термин " Т." практически вытеснен из употребления более широким термином " управляемый разрядник".

ТРИГГЕР (англ. trigger ), спусковое устройство (спусковая схема), к-рое может сколь угодно долго находиться в одном из двух (реже многих ) состояний устойчивого равновесия и скачкообразно переключаться из одного состояния в другое под действием внешнего сигнала. Т. имеет два выхода: основной и инверсный. Каждому состоянию Т. соответствуют определённые сигналы на его выходах, отличающиеся своим уровнем. В одном состоянии на осн. выходе Т. формируется сигнал высокого уровня, а на инверсном - низкого; в др. состоянии, наоборот, сигналы высокого и низкого уровней формируются соответственно на инверсном и осн. выходах. Т. характеризуется след. важнейшими параметрами: быстродействием, временем срабатывания, уровнями входных и выходных сигналов. Быстродействие Т. определяется как максимальное возможное число переключений в единицу времени. Время срабатывания определяется временем перехода Т. из одного состояния в другое и характеризует задержку выходного сигнала Т. относительно входного. Под уровнем входного сигнала понимают миним. значение сигнала, необходимое для переключения Т. Уровень выходного сигнала у большинства Т. не ниже уровня входного сигнала, чем обеспечивается возможность их последоват. соединения без промежуточного усиления. Наибольшее распространение получили электронные Т., выполненные на электронных лампах, газоразрядных приборах, полупроводниковых диодах, транзисторах разных типов и особенно на интегральных микросхемах; иногда применяются также Т. на магнитных элементах, элементах пневмо- и гидроавтоматики и др. По характеру входных сигналов различают Т. с потенциальными входами (прямым и инверсным ) и динамич. входами (также прямым и инверсным ). Т. с потенциальными входами реагируют на сигнал высокого уровня на прямом входе и низкого уровня на инверсном входе. Т. с динамич. входами реагируют на перепады (изменения уровня ) входных сигналов: положительный на прямом входе и отрицательный на инверсном.

Наиболее часто применяют: Т. со счётным входом (Т -триггер ), к-рый изменяет своё состояние на противоположное с каждым входным сигналом; Т. с двумя установочными входами (R -S-триггер ), изменяющий своё состояние только при воздействии управляющего сигнала на определённый вход (R - или S-вход ), причём повторное воздействие сигнала на тот же вход Т. не изменяет его состояния; универсальный Т. (J - К- триггер ), обладающий свойствами Т-триггера и R -S-триггера; Т. задержки (D- триггер ), состояние к-рого и соответствующий ему выходной сигнал повторяют входной сигнал. Кроме Т. этих типов, применяют комбинированные Т., представляющие собой универсальные многофункциональные устройства с большим числом входов.

Указанные выше Т. относят к симметричным; применяют также несимметричные Т. (Т. Шмитта ). Несимметричный Т. переходит из одного состояния в другое по достижения входным сигналом одного уровня (порога срабатывания ), а в исходное состояние возвращается при уменьшении входного сигнала до нек-рого др. уровня. Существуют и многостабильные Т., обладающие числом устойчивых состояний, большим, чем два.

Т. различных типов применяют в устройствах цифровой вычислит. техники и автоматики. С использованием Т. строятся цифровые автоматы с программным управлением для дискретной обработки информации (в частности, счётчики, пересчётные устройства, регистры разных типов, дешифраторы, сумматоры и др. ), формирователи импульсов, цифровые делители частоты и т. д. В цифровой автоматике Т. выполняют функции элементарных автоматов с памятью, имеющих 2 состояния, к-рым соответствуют два возможных значения двоичной логич. переменной (x = 0 и х = 1 ). Такие Т. подразделяются на асинхронные и синхронные. Синхронные (тактируемые ) Т. выполняют свои функции только при воздействии на их входы периодич. тактовых сигналов (обычно меандрового типа ), синхронизирующих работу Т. Синхронные Т. подразделяются на од-нотактные и двухтактные. Последние представляют собой систему из двух Т., выполняющих одну и ту же логич. операцию, но со сдвигом во времени на длительность полутакта входного тактового сигнала. Удвоение действий Т. необходимо для разделения во времени приёма информации, доставляемой входными сигналами, и передачи информации с выходов Т. на др. элементы устройства (или на его вход ).

Лит.: Ицхоки Я. С., Овчинников Н. И., Импульсные и цифровые устройства, М., 1972; Старостин А. Н., Импульсная техника, М., 1973; Каган Б. М.,

Каневский М. М., Цифровые вычислительные машины и системы, М., 1973.

Ю. Б. Барабанов, И. А. Данилъченко, Е. И. Петровичев.

ТРИГГЕРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ, триггеры (физиол., биол. ), пусковые процессы, обеспечивающие резкий переход клетки, органа или целого организма из одного функционального состояния в другое. Так, напр., переход мышцы от спокойного состояния к сокращению осуществляется триггерным действием пери-ферич. нерва. В этом случае непосредственную роль Т. м. выполняет синаптич. потенциал, т. е. ничтожно малая эдс, возникающая в месте контакта нерва с мышечным волокном. Все процессы, характерные для рефлекторной деятельности (напр., возбуждение рецепторов, передача возбуждения по периферич. нервам, с нейрона на нейрон ), могут рассматриваться как последовательная цепь работы, т. к. во всех этих процессах обнаруживается явление порога, т. е. крутого перехода из одного состояния в другое. Т. м. обеспечивают резкие качественные изменения состояния целого организма, напр. переход от стадии яйца к личинке, от личинки к куколке, от куколки к взрослому организму, а также суточную и сезонную активность животных.

Новое качеств. состояние, вызванное Т. м., может либо сохраняться, либо постепенно утрачиваться, что приводит к возвращению к исходному. Большинство биологич. Т. м. являются самовозвратными, восстанавливающимися за счёт энергии обмена веществ. Изучение Т. м. позволяет ближе подойти к раскрытию истинных причин автоматич. и т. н. спонтанных физиологич. процессов, когда их ход не детерминирован видимым внешним воздействием (см. Авто матизм).

Лит.: Меерович Л. А., 3еличенко Л. Г., Импульсная техника, 2 изд., М., 1954; Енютин В. В., Никулин С. М., Спусковые устройства, М.- Л., 1957; Шидловский В. А., Динамические биологические системы, в сб.: Динамические системы и управление, М., 1973; Botts J., Triggering of contraction in skeletal muscle, в кн.: Physiological triggers and discontinuous rate processes, Wash., 1957 (лит.); Bullock Т. Н., The trigger concept in biology, там же. В. А. Шидловский.

ТРИГЛАВ (Triglav), горный массив и одноимённая вершина в Юлийских Альпах, на С.-З. Югославии. Выс. 2863 м (самая высокая в стране ). Сложен известняками. Ледниковые и карстовые формы рельефа. Горные леса, луга.

ТРИГЛИФ (греч. triglyphos, от tri-, в сложных словах - три и glypho - режу ), в архитектуре прямоугольная, несколько вытянутая по вертикали плита с двумя целыми, а по краям половинными желобками. Чередуясь с метопами, Т; образуют фриз в дорическом ордере; обычно размещаются по осям колонн и интерколумниев и на концах фриза на углах здания. Т. в камне изображают ор-наментир. торцы балок перекрытия в деревянной архитектуре. Илл. см. т. 18, с. 493.

ТРИГЛЫ, морские петухи (Triglidae ), семейство мор. рыб отряда окунеобразных. Тело веретеновидное, покрыто чешуёй или пластинками. Дл. до 90 с м; 2-3 нижних луча брюшного плавника имеют форму пальцевидных отростков и служат для ползания по дну, а также являются органами осязания и вкуса. У глубоководных двуносых панцирных Т., или малармат (Peristedion), всё тело покрыто костными пластинками. Нек-рые виды Т. могут совершать короткие планирующие полёты. Распространены в морях субтропич. и умеренных зон. В СССР - в Чёрном, Балтийском, дальневосточных морях и изредка в Баренцевом. Икра пелагическая. Питаются беспозвоночными и мелкой рыбой. Имеют промысловое значение; мясо очень вкусное.

Ли т.: Жизнь животных, т. 4, ч. 1, М., 1971.

ТРИГОНИ Михаил Николаевич [окт. 1850, Севастополь, - 5(18 ). 7.1917, Балаклава], русский революционер-народник. Сын генерала. Окончил Новороссийский ун-т в Одессе. В революц. движении с 1875, вёл пропаганду среди интеллигенции и офицерства на Украине. С 1879 - чл. " Народной воли"; единств. чл. Исполнит. к-та её первого состава, живший на легальном положении (занимался адвокатурой под своей фамилией ). В 1880 основал одесскую народовольч. орг-цию. Арестован 27 февр. 1881. По " процессу 20-ти" осуждён на 20 лет каторги, к-рую отбывал в Алексеевском равелине и Шлиссельбургской крепости. В 1902 сослан на Сахалин. С 1906 жил в Крыму. Сохранил до конца жизни революц. убеждения. Автор воспоминаний " Мой арест в 1881 г." (" Былое", 1906, № 3 ).

Лит.: Дрей М., М. Н. Тригони, М., 1931; Фигнер В. Н., М. Н. Тригони, Поли. собр. соч., т. 4, М., 1932.

ТРИГОНИИ (Trigoniidae ), семейство из класса двуств о рчатых моллюсков. Появились в триасе; ныне представлены одним реликтовым родом, обитающим у берегов Австралии. Раковина состоит из двух равных по размерам толстостенных створок, обычно с отчётливой скульптурой из рёбер и бугорков; передняя и задняя части створки разделены килем и отличаются по скульптуре. Обитали в морях, вели ползающий образ жизни. Имеют значение для стратиграфии отложений юры и мела, когда Т. были распространены во всех частях света.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, один из важнейших классов элементарных функций.

Для определения Т. ф. обычно рассматривают окружность единичного радиуса с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами А'А и В'В (рис. 1 ). От точки А по окружности откладываются дуги произвольной длины, к-рые считаются положительными, если откладываются в направлении от Л к В (против часовой стрелки ), и отрицательными, если они откладываются в направлении от А к В' (по часовой стрелке ). Если С - конец дуги, имеющей длину ф, то проекция ОР радиуса ОС на диаметр А'А называется косинусом дуги ф (ОР = соsф ). При этом под проекцией ОР понимается длина направленного отрезка ОР, взятая со знаком плюс, если точка Р лежит на радиусе ОД, и со знак о м минус, если она лежит на радиусе О А'. Проекция OQ радиуса ОС на диаметр В'В (равная + OQ, если точка Q лежит на радиусе ОВ, и равная - OQ, если она лежит на радиусе ОВ' ) называется синусом дуги Ф (OQ == sinф. ).
[ris]

Т. ф. cos ф и sinф не могут принимать значений, по абсолютной величине превосходящих 1, то есть |соsф|< = 1, |sinф|< = 1.

Иначе cosф и sinф могут быть определены как прямоугольные декартовы координаты точки С, лежащей на дуге окружности единичного радиуса, центр к-рой в начале координат, ось абсцисс направлена по диаметру А'А, а ось ординат - по диаметру В'В.

Так как центральный угол в радианной мере измеряется тем же числом, что и дуга (радиус окружности равен единице), то cosф и sinф можно рассматривать как косинус и синус угла. Вообще под аргументом Т. ф. принято понимать число, к-рое можно рассматривать геометрически как длину дуги или радианную меру угла. Если аргумент Т. ф. рассматривают как угол, то его значение может быть выражено и в градусной мере. Для острых углов ф (0 < ф < п/2), и только для них, Т. ф. cosф и sinф можно рассматривать как отношение катетов прямоугольного треугольника, прилежащего углу или противолежащего углу, к гипотенузе. Дуга АВ окружности называется 1-й её четвертью, соответственно дуги ВА' - 2-й, А'В' - 3-й, В'А - 4-й четвертями. Для углов ф из 1-й четверти: cosф> 0, sinф> 0, из 2-й четверти: cosф< 0, sinф> О, из 3-й четверти: cosф< 0, sinф< О, из 4-й четверти: cosф> 0, sinф< 0. Кроме того, cos ф - чётная функция: cos(-ф)=соsф, a sinф - нечётная функция: sin(-ф ) = -sinф.

С помощью основных Т. ф. sinф и соsф можно определить другие Т. ф.: тангенс tgф =sinф/cosф котангенс ctgф =cosф/sinф секанс sec ф =1/cosф и косеканс cosec ф = 1/sinфПри этом sin ф, tg ф и secф определяются только для таких ф, для к-рых cosф не=0; a ctgф и cosecф для тех ф, для к-рых sinф не= 0; функция secф - чётная, а функции cosecф, tgф и ctgф-нечётные. Эти функции также могут быть представлены геометрически отрезками прямых (рис. l ): tgф = AL, ctgф = BK, secф = OL, cosecф = OK (для острых углов Ф и соответствующими отрезками для других углов ). С этим геометрическим представлением связано и происхождение названий Т. ф. Так, латинское tangens означает касательную (tgф изображается отрезком AL касательной к окружности ), secans - секущую (secф изображается отрезком OL секущей к окружности ). Название " синус" (лат. sinus - изгиб, пазуха ) представляет собой перевод арабского " джайб", являющегося, по-видимому, искажением санскритского слова " джива" (буквально - тетива лука ), к-рым индийские математики обозначали синус. Названия " косинус", " котангенс", " косеканс" представляют собой сокращения термина complementi sinus (синус дополнения ) и ему подобных, выражающих тот факт, что cosф, ctgф и cosecф равны соответственно синусу, тангенсу и секансу аргумента (дуги или угла ), дополнительн о го к ф (до п/2 или, в градусной мере, до 90° ):
[ris]

Подобно синусу и косинусу, остальные Т. ф. для острых углов могут рассматриваться как отношения сторон прямоугольного треугольника: тангенс и к о тангенс как отношения катетов (противолежащего к прилежащему и наоборот ), а секанс и косеканс как отношения гипотенузы соответственно к прилежащему и противолежащему катетам.

Так как точка С, являющаяся концом дуги ф, служит одновременно концом дуг ф + 2п, ф + 4п,... (2п - длина окружности ), то все Т. ф. оказываются периодическими. При этом основным периодом функций sinф, cosф, secф, cosecф является число 2п (угол в 360° ), а основным периодом tg ф и ctg ф - число п (угол в 180° ). Графики Т. ф. см. на рис. 2.

Значения Т. ф. одного и того же аргумента связаны между собой рядом с о отношений:

sin² ф + cos² ф= 1,

tg² ф + l =sec² ф, ctg² ф+1 = cosec² ф.

Для нек-рых значений аргумента значения Т. ф. могут быть получены из геометрич. соображений (табл. ).

Для больших значений аргумента можно пользоваться т. н. формулами приведения, к-рые позволяют выразить Т. ф. любого аргумента через
[ris]

Т. ф. аргумента ф, удовлетворяющего соотношению 0 < = ф < = п/2 или даже 0 < = ф < = п/4, что упрощает составление таблиц Т. ф. и пользование ими, а также построение графиков. Эти формулы имеют вид:
[ris]

в первых трёх формулах п может быть любым целым числом, причём верхний знак соответствует значению n = 2k, a нижний - значению n = 2k + 1; в последних - n может быть только нечётным числом, причём верхний знак берётся при в = 4к + 1, а нижний при n = 4к - 1.
[ris]

Рис. 2. Графики тригонометрических функций: 1 - синуса; 2 - косинуса; 3 - тангенса; 4 - котангенса; 5 - секанса; 6 - косеканса.

Важнейшими тригонометрич. формулами являются формулы сложения, выражающие Т. ф. суммы или разности значений аргумента через Т. ф. этих значений:
[ris]

знаки в левой и правой частях всех формул согласованы, т. е. верхнему (нижнему ) знаку слева соответствует верхний (нижний ) знак справа. Из них, в частности, получаются формулы для Т. ф. кратных аргументов, напр.:
[ris]

Часто бывают полезны формулы, выражающие степени sin и cos простого аргумента через sin и cos кратного, напр.:
[ris]

Формулы для соs² ф и sin² ф можно использовать для нахождения значений Т. ф. половинного аргумента:
[ris]

Знак перед корнем выбирается в зависимости от величины ф/2.

Суммы или разности Т. ф. различных аргументов могут быть преобразованы в произведения по следующим формулам:
[ris]

в первой и последней формулах (4 ) знаки согласованы. Наоборот, произведения Т. ф. могут быть преобразованы в сумму или разность по формулам:
[ris]

Производные всех Т. ф. выражаются через Т. ф.:
[ris]

Интегралы от рациональных комбинаций Т. ф. всегда являются элементарными функциями.

Все Т. ф. допускают разложение в степенные ряды. При этом функции sin x и cos x представляются рядами, сходящимися для всех значений x:
[ris]

Эти ряды можно использовать для получения приближённых выражений sin x и cos x при малых значениях x:
[ris]

Тригонометрич. система 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin n x,... образует на отрезке [-п, п] ортогональную систему функций, что даёт возможность представления функций в виде тригонометрич. рядов (см. Фурье ряд).

Для комплексных значений аргумента значения Т. ф. могут быть определены посредством степенных рядов. Т. ф. комплексного аргумента связаны с показательной функцией формулой Эйлера: e^iz = cos z + i sin z.

Отсюда можно получить выражения для sin x и cos x через показательные функции чисто мнимого аргумента (к-рые также называют формулами Эйлера ):
[ris]

Эти формулы также могут быть использованы для определения значений cos z и sin z для комплексного z. Для чисто мнимых значений z = ix (x - действительное ) получаем:
[ris]

где ch x и sh x -гиперболические косинус и синус (см. Гиперболические функции). Наоборот,
[ris]

Синус и косинус комплексного аргумента могут принимать действительные значения, превосходящие 1 по абсолютной величине. Напр.:
[ris]

Т. ф. комплексного аргумента являются аналитич. функциями, причём sin z и cos z - ц е лые функции, a tg z, ctg z, sec z, cosec z - мероморфные функции. Полюсы tg z и sec z находятся в точках z = п/2 + пn, a ctg z и cosec z в точках z = п n (п = 0, ±1, ±2,... ). Аналитяч. функция w = sin z осуществляет конформное отображение полуполосы - п < x < п, у > 0 плоскости z на плоскость w без отрезка действительной оси между точками - 1 и + 1. При этом семейства лучей x = х₀ и отрезков у = у₀ переходят соответственно в семейства софокусных гипербол и эллипсов. Вдвое более узкая полоса - п/2< x < п/2 преобразуется в верхнюю полуплоскость.

Уравнение x = sin у определяет у как многозначную функцию от х. Эта функция является обратной по отношению к синусу и обозначается у = Arc sin x. Аналогично определяются функции, обратные по отношению к косинусу, тангенсу, котангенсу, секансу и косекансу: Arc cos x, Arc tg x, Arc ctg x, Arc sec x, Arc cosec x. Все эти функции называются обратными тригонометрическими функциями (в иностр. литературе иногда эти функции обозначаются sin^-1z, соs^-1 z и т. д. ).

Т. ф. возникли впервые в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Соотношения отрезков в треугольнике и окружности, являющиеся по существу Т. ф., встречаются уже в 3 в. до н. э. в работах математиков Древней Греции - Евклида, Архимеда, Аполлония Пергского и др. Однако эти соотношения не являются у них самостоятельным объектом исследования, так что Т. ф. как таковые ими не изучались. Т. ф. рассматривались первоначально как отрезки и в такой форме применялись Аристархом (конец 4 - 2-я половина 3 вв. до н. э. ), Гиппархом (2 в. до н. э. ), Менелаем (1 в. н. э. ) и Птолемеем (2 в. н. э. ) при решении сферич. треугольников. Птолемей составил первую таблицу хорд для острых углов через 30' с точностью до 10^-6. Это была первая таблица синусов. Как отношение функция sin ф встречается уже у Ариаохаты (конец 5 в. ). Функции tg ф и ctg ф встречаются у аль-баттяни (2-я половина 9 - начало 10 вв. ) и Абу-лъ-Вефа (10 в. ), к-рый употребляет также sec ф и cosec ф. Ариабхата знал уже формулу sin² ф + cos² ф = 1, а также формулы (3 ), с помощью к-рых построил таблицы синусов для углов через 3°45', исходя из известных значений Т. ф. для простейших аргументов (п/3, п/6). Бхаскара (12 в. ) дал способ построения таблиц через 1° с помощью формул (2 ). Формулы (4 ) выводились Региомонтаном (15 в. ) и Дж. Непером в связи с изобретением последним логарифмов (1614 ). Регаомонтан дал таблицу значений синуса через 1'. Разложение Т. ф. в степенные ряды получено И. Ньютоном (1669 ). В современную форму теорию Т. ф. привёл Л. Эйлер (18 в. ). Ему принадлежат определение Т. ф. для действительного и комплексного аргументов, принятая ныне символика, установление связи с показательной функцией, ортогональности системы синусов и косинусов.

Лит.: Кочетков Е. С., Кочеткова Е. С., Алгебра и элементарные функции, ч. 1 - 2, М., 1966; Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, М., 1969, с. 61 - 65.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ЗНАК в геодезии, сооружение, устанавливаемое на местности в тригонометрических пунктах. Т. з. состоит из двух частей - наружной (см. Сигнал геодезический) и подземной (см. Центр геодезический). Т. з. фиксирует положение тригонометрич. пункта, а также служит для установки геодезич. инструмента на высоте, обеспечивающей возможность непосредственного визирования на соседние Т. з.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ ПУНКТ, пункт триангуляции, геодезический пункт, положение к-рого на земной поверхности определено методом триангуляции. Точное положение Т. п. на местности фиксируется путём закладки в земле спец. сооружения - центра геодезического, и определяется координатами в выбранной системе геодезических координат. Горизонтальные координаты Т. п. вычисляются из триангуляции, а его высота над уровнем моря определяется методами тригонометрич. или геометрич. нивелирования. Т. п., так же как и полигонометрические пункты, составляют опорную геодезическую сеть, используемую при топографич. съёмке и различных геодезич. измерениях на местности.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД, функциональный ряд вида

[ris]

т. е. ряд, расположенный по синусам и косинусам кратных дуг. Часто Т. р. записываются в комплексной форме
[ris]

Числа а_n, b_п или с_n называют коэффициентами Т. р.

Т. р. играют весьма важную роль в математике и её приложениях. Прежде всего Т. р. дают средства для изображения и изучения функций и являются поэтому одним из основных аппаратов теории функций. Далее, Т. р., естественно, появляются при решении ряда задач ма-тематич. физики, среди к-рых можно отметить задачу о колебании струны, задачу о распространении тепла и др. Наконец, теория Т. р. способствовала уточнению основных понятий математич. анализа (функция, интеграл ), вызвала к жизни ряд важных разделов математики (теория интегралов Фурье, теория почти-периодических функций ), послужила одним из отправных пунктов для развития теории множеств, теории функций действительного переменного и функционального анализа и положила начало общему гармоническому анализу.

Т. р. впервые появляются в работах Л. Эйлера (" Введение в анализ бесконечно малых", 1748; Письмо к X. Гольдбаху от 4 июля 1744 ), напр.:
[ris]

действительную часть функции ). Эйлеру же принадлежат первые приложения Т. р. к исследованию колебания струны (1748 ); по его мнению, в Т. р. могут быть разложены лишь те функции, к-рые мы теперь назвали бы кусочно-аналитическими. Формулы для коэффициентов в разложении
[ris]

были впервые указаны А. Клеро (1757 ), а их вывод посредством почленного интегрирования Т. р. был дан Эйлером в 1777; впрочем, формулы для а₀ и а₁ встречаются еще раньше у Ж. Д'Аламбера (1754 ). Т. р. привлекли к себе интерес крупнейших математиков 50-70-х гг. 18 в. в связи со спором о колебании струны. В частности, Д. Бернулли впервые высказал утверждение, что " произвольная" функция может быть разложена в Т. р. Однако в то время понятие функции было ещё недостаточно отчётливым (см. Функция). Утверждение, что функции весьма общего вида действительно могут быть разложены в Т. р., было вновь высказано и постоянно выдвигалось Ж. Фурье (1811 ); он систематически пользовался Т. р. при изучении задач теплопроводности. Весьма широкий класс Т. р. по праву носит его имя (см. Фурье ряд). После исследований Фурье Т. р. прочно вошли в математич. физику (С. Пуассон, М. В. Остроградский). Существенный прогресс теории Т. р. в 19 в. был связан с уточнением основных понятий математич. анализа и созданием теории функций действительного переменного. Так, П. Дирихле (1837 ), уточнив понятие произвольной функции, получил первый общий признак сходимости рядов Фурье; Г. Ф. Б. Риман исследовал понятие интеграла и установил необходимое и достаточное условие интегрируемости функций в связи с исследованиями по Т. р.; исследования, относящиеся к изображению функций Т. р., привели Г. Кантора к созданию теории множеств; наконец, А. Лебег (1902-06 ), применив развитые им понятия меры и интеграла к теории Т. р., придал ей современный вид. Важный вклад в теорию Т. р. внесли Н. Н. Лузин, Д. Е. Меньшов и др.

Лит.: Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М.- Л., 1951; Бари Н. К., Тригонометрические ряды, М., 1961; Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., 2 изд., т. 1 - 2, М., 1965.

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ, алгебраическое уравнение относительно тригонометрич. функций неизвестного аргумента. Для решения Т. у., пользуясь различными соотношениями между тригонометрическими функциями, преобразуют Т. у. к такому виду, чтобы можно было определить значения одной из тригонометрических функций искомого аргумента. После этого корни Т. у. получаются с помощью обратных тригонометрических функций. Напр., sin x + sin 2 x + sin 3 x = 0 можно привести к виду 2 sin 2 x cos x + sin 2x = 0 или sin 2 x (2cos x + 1) = 0, откуда sin 2 x = 0 или же cos x = -1/2; это даёт решения Т. у. х - 1 /2 Arc sin 0 = nп/2 и x = Arc cos (-1/2) = ²/₃п(3 n ± 1/2 ), где n - произвольное целое число (положительное или отрицательное).

ТРИГОНОМЕТРИЯ (от греч. trigonon - треугольник и ...метрия), раздел математики, в к-ром изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Т. делится на плоскую, или прямолинейную, и сферическую тригонометрию. Теория тригонометрич. функций (гониометрия) и её приложения к решению плоских прямоугольных и косоугольных треугольников изучаются в средней школе.