Теория метода

Электрические колебания представляют собой процесс повторяющихся во времени изменений напряжения, силы тока и заряда в электрических цепях. Цепь, состоящая из последовательно соединенных катушки индуктивности и конденсатора емкостью , называется колебательным контуром. Каждый реальный колебательный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасённая в контуре, постепенно расходуется на нагревание и излучение. Свободные колебания будут затухающими.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний в электрическом колебательном контуре имеет вид:

, (1)

где - заряд на обкладках конденсатора, - коэффициент затухания свободных колебаний в контуре, - сопротивление контура, - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы (т.е. при ).

При условии, что т.е. при решение уравнения (1) имеет вид:

, (2)

где – амплитуда затухающих колебаний, – начальная амплитуда, - циклическая частота свободных затухающих колебаний,

.

Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты .

Величину называют периодом затухающих колебаний, несмотря на то, что функция (2) не периодическая.

,

где – период свободных незатухающих колебаний. Период затухающих колебаний больше периода собственных незатухающих колебаний. Зная зависимость , можно найти напряжение на конденсаторе:

Характеристики затухающих колебаний:

1. Логарифмический декремент затухания - безразмерная величина , равная натуральному логарифму отношения двух последующих амплитуд:

. (3)

Амплитуда напряжения на конденсаторе в любой момент времени определяется:

где - начальная амплитуда. Так как , где -число колебаний за время , то . С учетом(3)получим откуда логарифмический декремент затухания

. (4)

2. Время релаксации колебаний - это время, за которое амплитуда уменьшается в раз:

.

Время релаксации колебаний предполагается большим по сравнению с периодом колебаний , т.е. за время релаксации происходит большое число колебаний .

3. Добротность колебательной системы представляет собой безразмерную величину, равную произведению на отношение энергии колебаний системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за промежуток времени от до :

.

При малых затуханиях добротность колебательной системы:

. (5)

С увеличением сопротивления контура коэффициент затухания растет, частота уменьшается, а период затухающих колебаний увеличивается. При некотором сопротивлении контура период становится равным бесконечности, а частота колебаний обращается в нуль (). Если сопротивление контура настолько велико, что , то в этом случае , и тогда колебания в контуре не возникают, а процесс разряда конденсатора носит апериодический характер (рис. 2, кривая б).

Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим . Величину критического сопротивления определяют из условия .

. (6)