Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Семантика алгебраической системы логики предикатов.
|
|
Остановимся на характеристике семантики S4. Исходным этапом в построении любой логической теории является задание множества допустимых интерпретаций ее нелогических символов. Для этого следует указать, какие типы объектов могут быть сопоставлены нелогическим символам различных категорий в качестве их значений.
Если в классической логике высказываний каждой пропозициональной переменной сопоставляется идин из двух абстрактных объектов «истина» либо «ложь», то в логике предикатов процедуре интерпретации нелогических терминов предшествует выбор непустого множества, называемого областью интерпретации или универсумом рассуждения.
Единственное условие, предъявляемое области интерпретации (обозначим ее символом U) – это непустота U (то есть наличие в ней хотя бы одного элемента). Таким образом, в логике предикатов в качестве универсума может выступать произвольное непустое множество (например, множество городов, множество планет, множество исторических событий, множество людей и т.п.).
Интерпретация нелогических символов в S4 релятивизируется относительно некоторого наперед выбранного универсума U. Символам нелогических терминов в качестве значений сопоставляются те объекты, которые заданы соответствующим образом на множестве U.
Как уже отмечалось, нелогические термины в S4 делятся на константы (предметные, предметно-функциональные и предикаторные) и переменные. Напомним, что константы не могут связываться кванторами. Переменные (а в S4 один вид переменных - предметные) могут связываться канторами. Свободные вхождения предметных переменных, с содержательной точки зрения, не являются параметрами, а скорее выполняют функцию неопределенных местоимений, которые можно заменять различными собственными именами.
Приписывание значений нелогически константам осуществляется в S4 с помощью специальной семантической функции, называемой интерпретационной функцией. Она обозначается символом I.
Роль функции І заключается в том, чтобы каждой нелогической константе сопоставлять некоторый объект, заданный на области интерпретации U. Причем константам разного вида должны сопоставляться объекты разных типов.
Любая константа в S4 должна иметь тот же тип значения, что и выражение соответствующей категории естественного языка. Другими словами, функция І задается так, что значения предметных констант оказываются однотипными со значением (собственных) имен, значения предметных переменных – со значениями указательных местоимений, значения предметно-функциональных констант – со значениями предметных функторов, значения предикаторных констант – со значением предикаторов.
Поскольку предметные константы являются параметрами имен, а значениями имен являются конкретные предметы, то предметным константам приписываются в качестве значений индивиды, но не произвольные, а те, что входят в множество U.
Например, если U - множество космических объектов, то функция І может приписать в качестве значения предметной константе аi такой индивид, как «Марс», а константе aj - «Венера», либо како-то другой космический объект.
Функция І сопоставляет каждому замкнутому терму ti некоторый фиксированный элемент множества U, то есть І(ti) = d Î U (где d – фиксированный элемент U, Î - знак принадлежности элемента к множеству). Если же терм не является замкнутым (он содержит свободное вхождение предметных переменных), то функция I сопоставляет ему произвольный элемент множества U, то есть І(ti) = dk Î U (где dk.- произвольный элемент U ).
Как уже отмечалось выше, предикаторные константы являются параметрами предикаторов естественного языка. Отсюда:
а) одноместной предикаторной константе функция І сопоставляет некоторое (возможно, пустое) множество элементов универсума U. Иначе говоря, значениями одноместной предикаторной константы является некоторое (возможно, пустое) подмножество множества U ;
б) двухместной предикаторной константе функция І сопоставляет некоторое множество упорядоченных пар, составленных из элементов U. Иначе говоря, значением двухместной предикаторной константы при интерпретации І является некоторое (возможно, пустое) подмножество упорядоченных пар некоторых элементов множества U ;
в) трехместной предикаторной константе функция І сопоставляет упорядоченные тройки предметов из множества U. Иначе говоря, значением такой константы является некоторое (возможно, пустое) подмножество упорядоченных троек некоторых элементов множества U.
Проиллюстрируем сказанное на конкретных примерах.
Пример 1. Имеется одноместная предикаторная константа Р1 и универсум U, состоящий из множества космических объектов. Функція І может приписать константе Р1 1) пустое множество, 2) множество планет, 3) множество звезд, 4) множество всех космических объектов (поскольку любое множество является подмножеством самого себя).
Пример 2. Универсум U представляет собой множество всех людей. Тогда двухместной константе Р2 функция І сопоставит 1) множество таких (упорядоченных) пар людей, в каждой из которых один человек старше другого, 2) множество таких пар людей, которые являются ровесниками и т.д.
Пример 3. Имеется трехместная предикаторная константа Р3 и универсум U, являющийся множеством всех городов. Тогда функция І сопоставит Р3, например, множество упорядоченных троек городов таких, что один из них расположен между двумя остальными (скажем, Киев между Москвой и Одессой).
Сказанное легко распространить на предикаторные константы любой местности.
Каждой n-местной предикаторной константе Pn интерпретационная функция І сопоставляет в качестве значения некоторое множество упорядоченных n-ок объектов, являющихся элементами универсума U .
То есть І (Pn) Í Un, где «Í» - знак включения одного множества в другое, Un – множество всех n- ок предметов, образованных из элементов универсума U.
Рассмотрим теперь интерпретацию предметно-функциональных констант. Предметно-функциональные константы – это парметры предметных функторов естественного языка, представляющие (репрезентирующие) функции, у которых аргументами и значениями являются индивиды из U .
При интерпретации предметно-функциональних констант в S4 им будут сопоставляться предметные функции соответствующей местности, релятивизированные касательно U. Аргументами и значениями таких функций являются элементы U. Эти функции фактически представляют операции, заданные на множестве U.
Обратимся к примеру. Если в качестве U взять множество натуральных чисел, то одноместной предметно-функциональной константе f1 інтерпретационная функция І может сопоставить, скажем, операцию возведения в квадрат. А если взять двухместную предметно-функциональную константу q2, то ей можно сопоставить операции сложения или умножения.
Каждой n-местной предметно-функциональной константе fn интерпретационная функция І сопоставляет некоторую n-местную функцию, аргументами и значениями которой будут элементы множества U, то есть І (fn) является некоторой n-местной операцией на универсуме U .
Пара < U, I>, задающая одну из допустимых в S4 интерпретаций нелогических констант, называется моделью.
Определение модели.
Моделью M называется любая пара < U, I> такая, что U – непустрое множество произвольных индивидов, а І - функция, удовлетворяющая следующим условиям:
1. I (t) Î U
2.. I (Pn) Í Un
3. I (fn) - является n-местной операцией, заданной на U.
Обратим внимание на одну особенность правил приписывания значений термам, являющимся предметными переменными или содержащим таковые. Каждой предметной переменной в качестве значения приписывается произвольный элемент множества U. Следует принять во внимание, что с любой определенной моделью < U, I> можно ассоциировать потенциально бесконечное множество приписываний значений предметным переменным. Тем самым возникает возможность варьирования значений предметных переменных при фиксированной интерпретации всех нелогических констант.
Возможными значениями термов являются индивиды из U, а возможными значениями формул являются истина и ложь. Таким образом, термы являются аналогами имен, а формулы - аналогами высказываний.
Продемонструем процесс установления значения для произвольного терма t в некоторой модели < U, I> при зафиксированном приписывании значений предметным переменным f. Будем употреблять запись «Ž tŽ» как сокращение выражения «значение t в модели < U, I> при приписывании f ». (В дальнейшем подобная фиксация приписывания f будет каждый раз подразумеваться и потомуявно не указывается).
Согласно определению терма, он является:
1) некоторой предметной константой ai; либо
2) некоторой предметной переменной xi, либо
3) выражением вида fn(t1, t2,..., tn).
Укажем теперь правила установления значений терма для каждого из перечисленных случаев.
(Определение 1.. Если терм t является предметной константой ai, то его значением в модели < U, I> будет тот индивид d, который интерпретационной функцией І сопоставляется константе ai, то есть:
Ž ai Ž = I (ai). = d Î U;
(Определение 2.).Если терм t является предметной переменной xi, то его значением в модели < U, I> будет тот индивид d, который интерпретационной функцией І приписывается переменной xi (в данном фиксированном приписывании):
Ž xi Ž = I (xi)= d Î U;
(Определение 3.).Если t является сложным термом f n (t1, t2,..., tn), то для того, чтобы установить его значение в модели < U, I>, необходимо:
1.Выделить операцию, которую функция І сопоставляет предметно-функциональной константе f n, то есть найти І (fn );
2.Найти значения термов t1, t2 ,... tn в той же модели < U, I>,
3. Применить операцию І (fn ) к аргументам Ž t1Ž, Ž t2Ž,... Ž tnŽ. Результатом применения данной операции к указанным объектам и будет значением терма f n (t1, t2,... tn ) в модели < U, I>.
Сказанное записывается так:
|fn (t1, t2,... tn)| = [ I (fn) ] (|t1 |, Ž t2 Ž ,... |tn |)
Проиллюстрируем все вышесказанное на примере.
В качестве U возьмем множество целых положительных чисел. Функция І будет сопоставлять:
1) предметной константе а число 3;
2) одноместной предметно-функциональной константе f1 – операцию возведения в квадрат;
3) двухместной предметно-функциональной константе f2 - операцию умножения.
Пусть предметной переменной у сопоставлено значение 2, то есть Ž yŽ = I(у) = 2. Теперь определим, какими значениями в модели < U, I> обладают термы:
А
У
3. – f1 (a)
4. – f2 (y, a)
5. – f1 (f2 (y, a))
6. – f2 (f1 (a) y)
1. Поскольку а - предметная константа, то, согласно Определению 1, функция І сопоставит ей число 3, которое и будет ее значением:
|a| = I(a) = 3.
2. Поскольку у – предметная переменная, то, согласно Определению 2, функция I сопоставит ей ей число 2:
|y| = I (y) = 2.
3. Определим значение сложного терма f1(a). Предметно-функциональной константе f1 по условию соответствует операция возведения в квадрат, а значением терма a является число 3. Тогда, в соответствии с Определением 3, следует применить операцию І(f) к аргументу а, то есть возвести в квадрат число 3. Получим число 9, котороеи будетзначением терма f1(a):
f1 (a) = I [(f1)] (|a|) = 32 = 9.
4. Определим значение сложного терма f2(y, a). По принятому условию, предметно-функциональной константе f2 соответствует операция умножения, значениями термов у и а являются, соответственно, числа 2 и 3. Чтобы вычислить тепеь значение терма f2(y, a), необходимо, в соответствии с Определением 3, применить операцию І(f2) к у и а, то есть перемножить 2 и 3. Ткаим образом, значением терма f2(y, a) будет число 6:
|f2 (y, a)| = [ I(f2)](|y|, |a|) = 2 x 3 = 6.
5. Чтобы установить значение терма f1 (f2 (y, a)), необходимо применить операцию
I (f1) к объекту Ž f2 (y, a)|. Поскольку было установлено, что значением терма f2 (y, a) является число 6, то число 36 будет значением терма f1 (f2 (y, a)).
6. Для того, чтобы установить значение терма f2 (f1 (a) y), необходимо перемножить значения термов f1 (a) и y, то есть числа 9 и 2. Таким образом, значением терма f2 (f1 (a) y) будет произвеление 9х2, то есть число 18.
3. Процедуры установления значений формул S4.
Перейдем теперь к формулировке правил установления значений формул в произвольной модели < U, I>.
Все множество формул разобьем на три подмножества:
|
|