Производная и скорость изменения функции. Скачок производной

Численное значение производной характеризует скорость изменения функции. На участках, на которых функция меняется быстрее, значение производной больше, чем на тех участках, где функция меняется медленнее (рис. 12). Если аргументом является время, а функция означает пройденный за это время путь, то производная (скорость изменения функции) – это скорость движения.

На рисунке 13 показана функция, у которой в некоторой точке производная не существует. В качестве примера мы взяли функцию, состоящую из 2-х кусков прямых, имеющих разные углы наклона k₁ и k₂. Уравнение этой функции можно задать следующим образом:

Тогда в точке х=0 существуют так называемые правая и левая производные (определяемые, как предел отношения приращения функции к приращению аргумента справа и слева, соответственно), но они не равны друг другу и поэтому производная в этой точке не определена. На графике функции в таких точках виден " излом", а производная функция y' в этой точке имеет разрыв I рода (рис. 14).

В архитектуре при сопряжении двух линий используются оба вида сопряжений – с изломом и без излома. Угол, который образуют друг с другом сопрягающиеся линии, - это угол между касательными к ним. Если правая и левая касательная совпадают, то получается сопряжение гладкое, без излома. Если касательные пересекаются под углом – сопряжение гладким не будет.

Таким образом, дуга окружности имеет гладкое сопряжение с касательной, проведенной в конечной точке дуги (рис.15), и сопрягается с изломом с прямой, не являющейся касательной (рис. 16). На рисунке 17 арка из 2-х дуг окружностей имеет излом в верхней точке. При построении сопряжения 2-х дуг окружностей пользуются тем, что касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному из центра окружности в точку касания. Следовательно, центры обеих окружностей, дуги которых сопрягаются без излома, должны лежать на одном и том же перпендикуляре к общей касательной. На рисунке 18 приведен чертеж маковки, состоящей из 3-х дуг разных радиусов. Центры окружностей соприкасающихся дуг лежат на одной прямой – О₁О₂ и О₂О_3.