Примеры уравнений линий в декартовой и полярной системе координат

1.Уравнение прямой, отсекающей на оси Y отрезок величины b: y=kx+b, где k - значение tg угла наклона прямой к оси ОХ; параметр k называется угловым коэффициентом прямой. Уравнение линии задано в явном виде (рис. 8).

2.Уравнение линии, являющейся геометрическим местом точек, для которых расстояние до некоторой точки О с координатами а и b есть величина постоянная (обозначим ее через R). Выпишем условие равенства константе R расстояния от любой точки М(x, y) до точки O(a, b): . Возведя обе части равенства в квадрат, получаем каноническое уравнение окружности:

(x-a)²+(y-b)²=R²

Если система координат выбрана так, что центр окружности совпадает с началом координат, то a=0, b=0 и уравнение окружности принимает вид:

x²+y²=R²

Уравнение линии в этих примерах задано в неявном виде.

3.Уравнение окружности в полярной системе координат.

Введем полярную систему координат, центр которой совпадает с центром окружности, а направление полярной оси, например, горизонтальное. Окружность определяется, как геометрическое место точек, для которых расстояние до некоторой точки О есть величина постоянная (эту величину мы обозначали через R). Следовательно, уравнение окружности в полярных координатах: r=R

Окружность дает простейший пример линии, уравнение которой от перехода к полярной системе координат упрощается.

На рисунке 9 приведена окружность и ее уравнение в разных системах координат. Одновременно мы показали на этом простом примере, что вид линии не зависит от того, в какой системе координат написано ее уравнение. От выбора системы координат зависит лишь вид уравнения.

Рассмотрим примеры еще 2 кривых, длина радиуса-вектора которых связана аналитической зависимостью со значением его угла поворота j. Уравнения этих кривых удобно задавать именно в полярной системе координат.