Затухающие колебания.

Во всякой реальной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет внешних сил, колебания будут затухать. Затуханием называется постепенное уменьшение амплитуды в процессе колебания. В простейшем случае момент сил трения пропорционален величине угловой скорости.

(9)

r – коэффициент трения.

Уравнение основного закона динамики вращательного движения при наличии сил трения принимает следующий вид

(10)

Применив обозначения

(12)

(13)

получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний

(14)

Решение этого уравнения

(15)

где j₀ – амплитуда колебаний и a – фаза колебаний, b – коэффициент затухания. Собственная частота системы w – это частота, с которой совершались бы свободные колебания системы при отсутствии сопротивления. Следует отметить, что колебания происходят только при малом затухании . При большом затухании вместо колебаний происходит замедленный (из-за большого трения) возврат системы к положению равновесия.

Пример графика зависимости угла отклонения от времени приведён на рисунке 3.

Для нахождения коэффициента затухания преобразуем выражение (15).

(16)

(17)

Для положений максимального отклонения

(18)

(19)

(20)

Формула (20) является рабочей для расчёта коэффициента затухания.

Из выражения (12) получаем рабочую формулу для расчёта коэффициента трения

(21)

Рисунок 3. Пример графика зависимости угла отклонения крутильного маятника от времени для затухающих колебаний.