Тема 7. Границя функції.

32. Відображення. Образи та прообрази множин. Звуження та продовження відображень. Класифікація відображень. Оборотні відображення та відображення, обернені до них. Композиція відображень. Графік відображення. Приклади.

33. Означення околів та проколотих околів точки в ℝ. Ліві та праві півоколи точки в ℝ. Означення послідовності. Підпослідовності. Означення границі послідовності на мові нерівностей і на мові околів. Збіжні та розбіжні послідовності. Приклади. Нескінченні границі послідовностей. Єдність границі послідовності.

34. Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності. Зв’язок між нескінченно малими та нескінченно великими послідовностями. Зв’язок між збіжністю послідовності та її обмеженістю.

35. Нерівності між послідовностями, що виконані асимптотично. Теорема про зв’язок нерівнос­тей між границями послідовностей з нерівностями між послідовностями та її наслідки. Теорема про три послідовності.

36. Леми про нескінченно малі послідовності. Теорема про арифметичні властивості границь послідовностей (про границі суми, різниці, добутку та частки).

37. Ознака Вейерштрасса збіжності монотонних послідовностей та її наслідок. Число e (означення та оцінки).

38. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхня і нижня границі послідовності.

39. Фундаментальні послідовності, критерій Коші збіжності послідовності.

40. Означення граничної точки числової множини. Загальне означення границі функції за Коші на мові околів. Загальне означення границі функції за Гейне. Теорема про еквівалентність означень границі функції за Коші та за Гейне.

41. Теорема про єдиність границі функції. Достатня умова відсутності границі функції. Теорема про арифметичні властивості границь функцій.

42. Зв’язок між нескінченно малими та нескінченно великими функціями. Лема про нескінченно малі функції.

43. Теорема про граничний перехід у нерівностях та її наслідки. Теорема про три функції. Теорема про границю композиції функцій.

44. Однобічні границі функції в точці. Критерій існування границі функції у двобічній граничній точці на мові однобічних границь. Однобічне прямування функції до своєї границі. Означення монотонних функцій. Теорема Вейерштрасса.

45. Друга чудова границя та її наслідки.

46. Перша чудова границя. Нерівності для синуса та тангенса.

47. Порівняння асимптотичної поведінки функцій при (О -символіка). Зв’язок між сим­волами і . Властивості О -символіки.

48. Означення верхньої та нижньої границь функції Теорема про існування верхньої та нижньої границь функції. Критерій існування границі функції в термінах її верхньої та нижньої границь. Критерій Коші існування скінченної границі функції.