Определение и свойства переноса.

Определение. Переносом Т плоскости на заданный вектор называется преобразованием плоскости, которое каждую точку М отображает на такую точку М, что = .

Это определение оправдано тем, что отображение, удовлетворяющее указанным в нем двум требованиям, отображает плоскость на себя и обратно, т.е. является преобразованием плоскости.

Теорема. Перенос есть движение.

· Если Т (М) = М и Т (N) = N, то MM=NN= .

Следовательно, MM' + M'N = M'N + NN', или MN = M'N' и, значит, MN = M'N'.

Сравнение ориентаций двух соответственных при переносе треугольников показывает, что перенос является движением первого рода.

Теорема: Любой параллельный перенос можно представить как композицию двух осевых симметрий с параллельными осями, причем направление осей перпендикулярно переносу, а расстояние между ними равно половине его длины.

;

.

Следствие. Перенос отображает прямую на параллельную ей прямую, луч – на сонаправленный с ним луч.

· Перенос как всякое движение отображает прямую на прямую. Если M и N – две различные точки прямой α и Т (M) = М', Т (N) = N', то MN = M'N', откуда следует Т (α)||α. Соответственные лучи этих прямых сонаправлены.

Обратно, если движение отображает каждый луч на сонаправленный с ним луч, то оно является переносом. Действительно, пусть при движении f фиксированная точка М отображается на точку М', а произвольная точка N – на точку N'. Так как лучи MN и M'N' по условию сонаправлены и MN = M'N', то MN = M'N', что эквивалентно равенству MM' = NN', т.е. f – перенос.

Перенос, отличный от тождественного, не имеет неподвижных точек. Каждая прямая, имеющая направление переноса, отображается этим переносом на себя, т.е. является двойной прямой этого преобразования.

Применение параллельного переноса для геометрических построений называют методом параллельного переноса. Сущность этого метода состоит в том, что наряду с данными и искомыми фигурами рассматриваются некоторые другие фигуры, которые получаются из данных или искомых фигур или их частей путем переноса на некоторый вектор. Этим путем иногда удается облегчить проведение анализа. Метод параллельного переноса применяют главным образом для объединения разрозненных частей фигур. Особенно часто этим методом пользуются для построения многоугольников. Иногда метод переноса оказывается полезным при решении задач на «кратчайший путь».