Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Особенности анализа линейных систем при случайных воздействиях
Линейной системой называют систему, для которой применим принцип суперпозиции, состоящий в том, что отклик системы на сумму воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие. Различают линейные системы с сосредоточенными и распределенными, постоянными и переменными параметрами. В дальнейшем для определенности будем рассматривать линейные системы с сосредоточенными постоянными параметрами. Примером такой системы является линейная цепь, составленная из элементов, параметры которых (сопротивление R, индуктивность L, ёмкость С) постоянны. Основная задача анализа линейной электрической цепи состоит в нахождении отклика y (t) цепи на произвольное воздействие x (t). Связь между x = x (t) и y = y (t) в общем виде устанавливается линейным дифференциальным уравнением n -го порядка (4.1) решение которого при заданных начальных условиях определяет явную функциональную связь между x (t) и y (t). При этом порядок уравнения и величины коэффициентов определяются схемой цепи. Уравнение (4.1) устанавливает связь между x (t) и y (t) в неявной форме. Чтобы получить явную форму связи, необходимо решить уравнение (4.1) для каждого конкретного воздействия. Эту трудность можно обойти в том смысле, если решить это уравнение один раз для воздействия в виде дельта-функции x (t) = (t). Полученное решение, в данном случае определяет импульсную характеристику цепи y (t) = h (t). Дельта-функция обладает фильтрующим свойством:
Пусть имеется некоторая непрерывная функция f (t), тогда . Импульсная характеристика h (t) – это отклик линейной цепи при нулевых начальных условиях на воздействие в виде дельта-функции. Зная h (t), можно записать отклик y (t) в виде интеграла свертки h (t) с x (t): (4.2) или в другой форме , (4.3) где предполагается, что воздействие x (t) подано на вход цепи в момент t = 0, то есть нижний предел интегрирования соответствует моменту подачи входного воздействия, а верхний предел интегрирования t соответствует моменту, при котором ищется отклик y (t), t > 0. Выражения (4.1), (4.2), (4.3) справедливы в полной мере, если x (t) есть реализация случайного процесса (t). В этом случае эти выражения позволяют найти реализацию y (t) как отклика на конкретную реализацию x (t). Если же в формулах (4.1), (4.2), (4.3) на место x(t) поставить входной случайный процесс = (t), то на выходе, то есть на месте y(t), будет выходной случайный процесс = (t). Тогда указанные формулы: (4.4) (4.5) (4.6) устанавливают только функциональную связь между (t) и (t). Особенность заключается в том, что эти формулы не могут использоваться для нахождения (t), так как (t) не задаётся конкретной функцией, а представляет собой совокупность реализаций, одна из которых проявляется. Но эти формулы служат для решения основной задачи анализа линейной цепи при случайных воздействиях, заключающейся в нахождении вероятностных характеристик выходного случайного процесса (t), если известны вероятностные характеристики входного случайного воздействия и определена цепь посредством задания порядка и коэффициентов дифференциального уравнения или импульсной характеристики. Так как все зависимости (t), (t), h (t) в формулах (4.4), (4.5), (4.6) заданы во временной области, то анализ цепи с их использованием определяет вероятностный анализ линейных систем во временной области.
4.2. Вычисление математического ожидания и корреляционной функции на выходе линейной системы
Пусть линейная цепь задана своей импульсной характеристикой h(t). На вход цепи, начиная с момента времени t = 0, подаётся нестационарный процесс с математическим ожиданием (t) и корреляционной функцией . Требуется найти математическое ожидание (t) и корреляционную функцию выходного процесса (рис. 4.1). Рис. 4.1 Пусть связь между (t) и (t) определяется в соответствии с формулой (4.5) выражением В этом случае имеем так что (4.7) где символ интегрирования по времени вынесен за знак оператора математического ожидания < •>, который определяет также интегрирование, но по ансамблю, а интегралы, определяющие интегрирование по различным аргументам, можно менять местами. Кроме того, множитель вынесен за оператор < •> как детерминированный. Таким образом, внутри оператора < •> остался только множитель , означающий входной случайный процесс, при этом Из выражения (4.7) следует, что математическое ожидание (t) определяется в виде формулы интеграла свертки (4.7). Если процесс (t) стационарный, то (t) = = const и справедливо соотношение (4.8) из которого следует, что (t) пропорционально переходной характеристике линейной цепи, так как g(t) есть переходная характеристика цепи, определяющая отклик цепи на входное воздействие в виде единичной функции. Если входной процесс имеет =0, то выходной процесс имеет нулевое математическое ожидание, m=0. Если же m = const и отлично от нуля, то при выполнении условия где a = const, выходной процесс после затухания переходного процесса, вызванного включением стационарного процесса на входе, становится стационарным с математическим ожиданием, равным Для нахождения воспользуемся формулой (4.6): . (4.9)
В этом случае связь между (t) и (t) запишется в виде (4.10) Из левой и правой части равенства (4.9) вычтем соответственно левую и правую части равенства (4.10). После преобразования получим (4.11) где
В свою очередь, по определению имеем (4.12) Подставив формулу (4.11) в выражение (4.12) и применив те же приемы, что и при вычислении математического ожидания (4.7), получим
|