Концепции и инструменты оптимизации математических моделей

Одним из важнейших первичных этапов математического мо­делирования является выбор концепции моделирования. Обычно математическая модель включает некоторые фундаментальные пер­вичные законы, а также частные закономерности специфических для рассматриваемого объекта процессов. Не следует стремиться с самого начала работы к созданию адекватной модели рассматриваемого процесса, хотя эта цель должна, разумеется, существо­вать. Однако попытка сразу, с первого подхода, достигнуть высокой адекватности имеет шансы на реализацию только при наличии большого опыта математического моделирования именно в рас­сматриваемой области.

При моделировании в новой области можно рекомендовать сле­дующий подход к решению задачи. На первом этапе следует соз­дать «грубую», по терминологии академика А. А. Андронова, или даже «максимально грубую» модель. Речь идет об учете только небольшого числа самых существенных факторов. Разумеется, претендовать на высокую адекватность «грубой» модели не при­ходится. Однако работа с такой моделью разовьет интуицию иссле­дователя и составит базу для создания следующей, более адек­ватной модели, в которую целесообразно включить дополнитель­ный фактор по сравнению с теми, которые вошли в первую самую «грубую» модель.

Последовательное усложнение разрабатываемой модели. Метод последовательного усложнения модели введением допол­нительных факторов или процессов может продолжаться до дости­жения необходимой адекватности модели. Именно так поступают на практике, постепенно переходя от простого к более сложному. В качестве имитационной модели исследуемого процесса сначала рассматривается модель в виде линейного полинома (1-го по­рядка), как наиболее простой и грубой модели и осуществляется первоначальное планирование и проведение эксперимента. Только после анализа и оценки ре­зультатов эксперимента переходят к более сложной предполагае­мой имитационной модели (2-го порядка), на основании которой вновь осуществляют планирование и проведение эксперимента. После чего вновь проводятся анализ и оценка результатов экспе­римента. Этот процесс усложнения имитационной модели продол­жается до достижения необходимой адекватности математической модели исследуемому процессу.

К преимуществам системы разработки математических моде­лей, основанной на принципе постепенного перехода от простого к более сложному, следует отнести:

- развитие интуиции в ходе моделирования;

- дополнительный способ проверки правильности результатов;

- выявление роли дополнительных факторов и их взаимодействий, которые последовательно вводятся в модель.

Переход к безразмерным переменным. Другим важным методологическим приемом, облегчающим ре­шение задач математического моделирования, является введение безразмерных переменных, которое чрезвычайно полезно в практике математического моделирования. Очень часто безразмерные переменные вводят таким образом, чтобы они изменялись от 0 до 1.

Итоги эффективности введения про­цедуры «обезразмеривания» переменных:

- уменьшение количества коэффициентов.

- большая простота уравнений с безразмерными переменными,

- константы уравнений с безразмерными переменными являются не только без­размерными величинами, но и критериями подобия для описываемых процессов. Иначе говоря, процессы подобны, если для них сохраняются значения безразмерных параметров, входя­щих в систему.

Для сложных систем, состоящих из большого числа уравнений, эффект «обезразмеривания» еще более существенен.

Редукция (упрощение, сокращение и т.д.) сложных систем. Исследование сложных систем сопряжено со значительными трудностями. Поэтому другим эффективным инструментом математического моделиро­вания является редукция систем, в частности, динамических уравнений, т. е. уменьшение их числа и упрощение без существенной утраты информативности. В частности, редукции системы динамических урав­нений может привести систему к квазистационарному состоянию (например, пренебрегли износом резца, который на протяжении эксперимента был незначителен).

В итоге, разработанная математическая модель должна быть адекватна исследуемому процессу. Это означает, что результаты, следующие из математической модели, должны соответствовать данным, получаемым путем измерений исследуемого процесса.