Метод выделения полного квадрата

💸 Как сделать бизнес проще, а карман толще?

Тот, кто работает в сфере услуг, знает — без ведения записи клиентов никуда. Мало того, что нужно видеть свое раписание, но и напоминать клиентам о визитах тоже. Проблема в том, что средняя цена по рынку за такой сервис — 800 руб/мес или почти 15 000 руб за год. И это минимальный функционал. Нашли самый бюджетный и оптимальный вариант: сервис VisitTime.
⚡️ Для новых пользователей первый месяц бесплатно. А далее 290 руб/мес, это в 3 раза дешевле аналогов. За эту цену доступен весь функционал: напоминание о визитах, чаевые, предоплаты, общение с клиентами, переносы записей и так далее.
✅ Уйма гибких настроек, которые помогут вам зарабатывать больше и забыть про чувство «что-то мне нужно было сделать».
Сомневаетесь? нажмите на текст, запустите чат-бота и убедитесь во всем сами!

Интегралы вида

(коэффициенты

не равны нулю) решаются методом выделения полного квадрата. На самом деле такие интегралы сводятся к одному из четырех табличных интегралов, которые мы только что рассмотрели. А достигается это с помощью знакомых формул сокращенного умножения:

Формулы применяются именно в таком направлении, то есть, идея метода состоит в том, чтобы в знаменателе искусственно организовать выражения

либо

, а затем преобразовать их соответственно в

либо

Это простейший пример, в котором при слагаемом – единичный коэффициент (а не какое-нибудь число или минус).

Смотрим на знаменатель, здесь всё дело явно сведется к случаю

. Начинаем преобразование знаменателя:

Очевидно, что нужно прибавлять 4. И, чтобы выражение не изменилось – эту же четверку и вычитать:

После того, как преобразование закончено ВСЕГДА желательно выполнить обратный ход:

, всё нормально, ошибок нет.

Чистовое оформление рассматриваемого примера должно выглядеть примерно так:

Готово. Подведением «халявной» сложной функции под знак дифференциала:

, в принципе, можно было пренебречь

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока

Что делать, когда перед

находится минус? В этом случае, нужно вынести минус за скобки и расположить слагаемые в нужном нам порядке:

. Константу («двойку» в данном случае) не трогаем!

Теперь в скобках прибавляем единичку. Анализируя выражение, приходим к выводу, что и за скобкой нужно единичку – прибавить:

ВСЕГДА выполняем на черновике проверку:

, что и требовалось проверить.

Чистовое оформление примера выглядит примерно так:

Здесь при слагаемом

уже не единичный коэффициент, а «пятёрка».

(1) Если при

находится константа, то её сразу выносим за скобки.

(2) И вообще эту константу всегда лучше вынести за пределы интеграла, чтобы она не мешалась под ногами.

(3) Очевидно, что всё сведется к формуле

. Надо разобраться в слагаемом

, а именно, получить «двойку»

(4) Ага,

. Значит, к выражению прибавляем

, и эту же дробь вычитаем.

(5) Теперь выделяем полный квадрат. В общем случае также надо вычислить

, но здесь у нас вырисовывается формула длинного логарифма

, и действие

выполнять не имеет смысла, почему – станет ясно чуть ниже.

(6) Собственно, можно применить формулу

, только вместо «икс» у нас

, что не отменяет справедливость табличного интеграла. Строго говоря, пропущен один шаг – перед интегрированием функцию

следовало подвести под знак дифференциала:

, но, как я уже неоднократно отмечал, этим часто пренебрегают.

(7) В ответе под корнем желательно раскрыть все скобки обратно:

Сложно? Это еще не самое сложное в интегральном исчислении. Хотя, рассматриваемые примеры не столько сложны, сколько требуют хорошей техники вычислений.

Это пример для самостоятельного решения. Ответ в конце урока.

Существуют интегралы с корнями в знаменателе, которые с помощью замены сводятся к интегралам рассмотренного типа, о них можно прочитать в статье Сложные интегралы, но она рассчитана на весьма подготовленных студентов.