Подмодуль 2.

Модуль 1. Начертательная геометрия

Преобразование комплексного чертежа

Лекция 6

Способы преобразования комплексного чертежа

/продолжение/

Содержание лекции.

Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций. Способ вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций

6.1 Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций.

Так как основными элементами всякой фигуры являются точки, то мы и посмотрим, как изменяются проекции точки при вращении ее вокруг такой оси.

Рис.6.1а дает наглядное представление об изменении проекции точки M при вращении ее вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости p₁.

В пространстве точка M будет описывать при этом окружность в плоскости a, перпендикулярной к оси i и одновременно параллельной плоскости p₁ /рис.6.1а/.

Рис.6.1а

Рис. 6.1б

Описываемая точкой M окружность будет проецироваться наплоскость p₁ окружностью того же радиуса R, а на плоскость p₂ в виде прямой линии, параллельной оси x.

Если повернуть точку M на некоторый угол j° в новое положение M₁, то и горизонтальная проекция ее повернется на тот же угол j°, описав дугу M¢ M¢ ₁, а фронтальная проекция передвинется по прямой линии M¢ ¢ M¢ ¢ ₁. Справа на рис.6.1б показано изменение проекции точки M на эпюре.

Итак,

при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости p₁, горизонтальная проекция точки перемещается по окружности с центром на оси вращения, а фронтальная – по прямой, перпендикулярной к оси вращения, т.е. параллельной оси X.

Проведя аналогичные рассуждения для случая, когда точка M будет вращаться вокруг оси, перпендикулярной к плоскости p₂ , придем к следующему заключению.

при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости p₂, фронтальная проекция точки перемещается по окружности с центром на оси вращения, а горизонтальная – по прямой, перпендикулярной к оси вращения, т.е. параллельной оси X.

Сравнивая настоящий способ преобразования со способом плоскопараллельного перемещения, который мы изучали на прошлой лекции, видим, что они родственны. Точка, вращаясь вокруг прямой, перпендикулярной к плоскости проекций, также совершает, как и в плоскопараллельном перемещении, перемещение параллельное плоскости проекций. Только, если в том способе, мы не интересовались каким путем точка из начального положения переместится в конечное, то здесь мы определенно знаем, что таким перемещением будет перемещение по окружности.

Посмотрим теперь, как выполняется поворот прямой (двух точек) вокруг заданной оси.

Пусть нам требуется повернуть отрезок AB на некоторый угол j° вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости p₁ /рис.6.2/.

При вращении отрезка AB вокруг оси i расстояние отрезка до оси вращения будет оставаться неизменным [ O¢ K¢ ] @ [ OK ]. (Заметим, что положение прямых в плоскости проекций p₁ – OK результат решения второй основной задачи).

Повернув отрезок AB на угол j° до положения O¢ K¢ ₁ строим конгруэнтно, т.е. без изменения, новую горизонтальную проекцию отрезка A¢ ₁B¢ ₁ , длина которого останется прежней | A¢ ₁ B¢ ₁ | @ | A¢ B¢ |, и который будет по прежнему перпендикулярен отрезку O¢ K¢ ₁.

Фронтальные проекции всех точек переместятся по прямым, перпендикулярным к оси вращения.

рис.6.2

рис.6.3

Теперь рассмотрим, как и в предыдущих способах, решение четырех основных задач на преобразование чертежа.

На рис.6.3 показано решение первой и второй задачи для заданного отрезка AB.

Поскольку оси вращения нам не задаются, мы вправе сами выбирать их положение, причем так, чтобы решение задачи оказалось бы наиболее рациональным. Решение получится наиболее простым, если ось совпадает с одним из концов отрезка.

Так, вращая отрезок около вертикальной оси, проходящей через точку B, мы переводим его в положение фронтали, т.е. располагаем параллельно плоскости проекций p₂.

На плоскости p₂ мы теперь будем видеть в натуральную величину сам отрезок AB, и его угол наклона к плоскости p₁ - a°.

Обратим внимание, что в тех случаях, когда ось вращения совпадает с одним из концов отрезка, принято эту ось не обозначать. Наличие такой оси лишь подразумевается.

Превратив отрезок в прямую уровня, т.е. решив первую задачу на преобразование, переходим к решению второй задачи.

Если предположить, что теперь ось вращения перпендикулярная к плоскости p₂ , совпадает с точкой A₁ , то поворотом вокруг этой оси мы можем отрезку A₁B₁ придать проецирующее положение A₂B₂ относительно плоскости p₁.

Решение третьей задачи – преобразование плоскости общего положения в проецирующую, покажем на примере плоскости b(b_p1, b_p2), заданной следами /рис.6.4/.

Рис.6.4

Сделаем эту плоскость bфронтально проецирующей. Для упрощения построения оси i вращения выбрана так, что она лежит в самой плоскости p2 и потому пересекает след bp2 в некоторой точке K.Эта точка не будет изменять своего положения при вращении плоскости вокруг оси. Так как плоскость bдолжна быть фронтально-проецирующей, то, очевидно, нужно повернуть

ее горизонтальный след b_p1 так, чтобы он стал перпендикулярным к оси x. Для выполнения на эпюре этой операции проведем O¢ A¢ Ö b_p2 и повернем проведенный перпендикуляр вместе со следом b_p1 до горизонтального положения, т.е. до совпадения с осью x. Тогда точка A¢ переместится в A¢ ₁ и след b_p1 займет требуемое положение b_{p1 1} Ö x. Новое положение фронтального следа b_{p2 1} найдем, соединив точку A¢ ₁ с неподвижной точкой K¢ ¢.

Превратив плоскость b во фронтально-проецирующую b¢ ¢, на плоскости p₂ мы будем видеть в натуральную величину угол наклона этой плоскости к плоскости проекций p₁ – угол a°.

Последовательное решение третьей и четвертой задачи на преобразование чертежа рассмотрим на примере плоскости, заданной треугольником ô ABC / рис.6.5/.

рис.6.5

Вначале треугольник ô ABC поворачиваем вокруг заданной оси i до положения фронтально- проецирующей плоскости. Для этого поворачиваем предварительно построенную горизонталь треугольника AD до положения, при котором она станет перпендикулярной к плоскости p₂. Новая горизонтальная проекция треугольника ô ABC будет конгруэнтна прежней