Подмодуль 1.

Модуль 1. Начертательная геометрия

Комплексный чертеж точки, прямой, плоскости

Лекция 4

Комплексный чертеж плоскости /продолжение/.

Содержание лекции.

Взаимное пересечение двух плоскостей. Построение линии их пересечения. Пересечение прямой с плоскостью. Построение точки пересечения прямой с плоскостью.

4.1 Взаимное пересечение двух плоскостей.

Взаимное положение двух плоскостей в пространстве может быть либо параллельным, либо пересекаться. Если плоскости не будут параллельны, то они будут пересекаться. Возникает одна из основных позиционных задач – построение линии пересечения двух плоскостей.

При решении задачи пересечения следует рассмотреть различные случаи расположения пересекающихся плоскостей относительно плоскостей проекций. Здесь могут быть 4 случая.

1. Обе пересекающиеся плоскости – одноименно проецирующие.

2. Пересекающиеся плоскости – разноименно проецирующие.

3. Одна из пересекающихся плоскостей – плоскость общего положения, другая – проецирующая.

4. Обе пересекающиеся плоскости - плоскости общего положения.

Рассмотрим эти случаи в том порядке, как они здесь перечислены.

4.1.1 Построение линии пересечения двух плоскостей, если обе плоскости – одноименно проецирующие.

а) б)

рис.4.1

На рис. 4.1 даны пересекающиеся фронтально – проецирующие плоскости a и b.

Их линия пересечения – прямая m будет также фронтально – проецирующей прямой.…

На комплексном чертеже /рис.4.1б/ фронтальная проекция прямой в виде точки m¢ ¢ имеется, надо лишь ее обозначить.

Горизонтальная проекция линии пересечения - m¢ строится из условия, что m¢ -фронтально – проецирующая прямая.

.

4.1.2 Построение линии пересечения двух плоскостей, если плоскости – разноименно проецирующие.

а) б)

рис. 4.2

На рис.4.2 даны горизонтально - проецирующая плоскость a и фронтально – проецирующая плоскость b, которые пересекаются по прямой m.

На комплексном чертеже /рис.4.2б/ проекции этой прямой уже имеются /они совпадают с одноименными проекциями плоскостей/ и эти проекции следует лишь обозначить.

4.1.3 Построение линии пересечения двух плоскостей, если одна из них – плоскость общего положения, другая – проецирующая.

На рис.4.3 даны горизонтально – проецирующая плоскость a и плоскость общего положения b, которые пересекаются по прямой l.

На рис.4.4 плоскость общего положения a(ô ABC), заданная треугольником ô ABC, пересекается с фронтально – проецирующей плоскостью b.

рис.4.3 рис. 4.4

В обоих случаях одна проекция линии пересечения плоскостей определяется сразу из условия ее принадлежности проецирующей плоскости, это - l¢ на рис. 4.3 и m¢ ¢ на рис.4.4. Другая проекция линии пересечения легко определяется из условия ее принадлежности плоскости общего положения.

При решении задачи на построение линии пересечения плоскостей приходиться решать и вопрос видимости фигур. Так в задаче, приведенной на рис. 4.4 на горизонтальной проекции часть плоскости a треугольника ô ABC, лежащей ниже плоскости b, будет невидимой.

Рассматривая вышеприведенные задачи, можно сделать вывод, что построение линии пересечения плоскостей, в том случае, когда хотя бы одна из плоскостей является проецирующей, является очень простой задачей.

По этой причине в дальнейшем, когда при решении большого круга позиционных задач, мы будем вынуждены широко пользоваться вспомогательными секущими плоскостями, в качестве последних мы, как правило, будем использовать проецирующие плоскости.

Следующая задача явится примером такого применения проецирующих плоскостей.

4.1.4 Построение линии пересечения двух плоскостей, если обе из них являются плоскостями общего положения.

Пересечение двух плоскостей, как поверхностей первого порядка, дают линию первого порядка, т.е. прямую. 1x1=1.

Поскольку линией пересечения двух плоскостей является прямая, то для ее построения необходимо найти какие – либо две точки этой прямой.

рис.4.5а

На рис.4.5а показано как, при помощи двух вспомогательных секущих плоскостей l₁ и l₂ , может быть найдена линия пересечения плоскостей a и b - прямая l. Плоскость l₁ дает точку M прямой l, плоскость l₂ - точку N.

рис.4.5б

На рис.4.5б приведено решение этой задачи, с помощью того же принципа, на комплексном чертеже. Здесь плоскость a(a Ç b) задана пересекающимися прямыми a и b, а плоскость b(c || d), -параллельными прямыми c и d.

В качестве секущих плоскостей выбраны фронтально – проецирующие плоскости l₁ и l₂. В данном случае эти плоскости являются горизонтальными, но они могли – бы ими и не быть.

Если плоскости - посредники l₁ и l₂ взяты параллельными, то линии их пересечения с плоскостями a(a Ç b) и b(c || d) будут также соответственно параллельны, т.е.(h₁ || h₃) Î a(a Ç b), (h₂ || h₄) Î b(c || d). На чертеже линии пересечения плоскостей посредников l₁ и l₂ с плоскостью a(a Ç b) /рис.4.5б/ показаны для плоскости a(a Ç b) прямыми (h¢ ¢ ₁ || h¢ ¢ ₃) на плоскости проекций p₂, а на плоскости проекций p₁ – прямыми (h¢ ₁ || h¢ ₃); для плоскости b(c || d) прямыми (h¢ ¢ ₂ || h¢ ¢ ₄) на плоскости проекций p₂, а на плоскости проекций p₁ – прямыми (h¢ ₂ || h¢ ₄).

Если пересекающиеся плоскости общего положения заданы следами a(a_p1, a_p2), b(b_p1, b_p2), то в качестве плоскостей посредников выбирают взаимно перпендикулярные плоскости, а именно плоскости проекций p₁, p₂.

Задано условие: следы плоскостей в пределах чертежа пересекаются.

рис. 4.6

В этом случае при отыскании линии пересечения заданных плоскостей нет необходимости прибегать к помощи вспомогательных секущих плоскостей, т.к. их роль выполняют сами плоскости проекций.

Если же следы плоскостей в пределах чертежа не пересекаются, тогда, как и в общем случае, при решении задачи следует использовать вспомогательные секущие плоскости.

4.2 Пересечение прямой с плоскостью.

Рассматривая случай параллельности прямой и плоскости, заключили, если прямая не параллельна плоскости, то она будет пересекаться. Возникает одна из основных позиционных задач – отыскание точки пересечения прямой с плоскостью.

Как же решить эту задачу?

рис.4.7

Для того, чтобы отыскать точку пересечения прямой l, с плоскостью a необходимо применить следующий порядок /алгоритм/ решения /рис.4.7/.

1. Заключить прямую l во вспомогательную секущую плоскость l. В качестве такой плоскости берется одна из проецирующих плоскостей.

l Ì l,

где Ì -символ включает, содержит.

2. Найти линию пересечения m данной плоскости a и вспомогательной /посредник в проецирующем положении/ l.

m = a Ç l

3. Найти точку пересечения K прямой l с данной плоскостью a, как точку пересечения прямой l с найденной линией пересечения двух плоскостей m.

K = l Ç a = (l Ç m) Î l.

4. Выделить видимые и невидимые участки прямой l.

Рассмотрим применение этого алгоритма к решению конкретных задач.

4.2.1 Определение точки пересечения прямой с плоскостью /прямая и плоскость – общего положения/.

Задача.

Построить точку пересечения прямой l с данной плоскостью a.

Задачу решим в двух вариантах /рис.4.8/.

а) Плоскость a задана треугольником ABC.

б) Плоскость a задана следами a_p1 и a_p2 .

параллельного проецирования.

Рис.4.8а

Рис. 4.8 б

Пояснить на данном примере графическое выражение алгоритма решения задачи.

Отметить, что если в варианте на рис.4.8а в качестве вспомогательной секущей плоскости выбираем фронтально-проецирующую плоскость l¢ ¢, то в варианте на рис.4.8б в качестве вспомогательной секущей плоскости выбираем горизонтально-проецирующую плоскость l¢.

Необходимо указать на равнозначность этих плоскостей.

Далее рассмотрим частные случаи этой задачи. Частными будем считать те задачи, в которых либо плоскость, либо прямая, являются фигурами частного, или точнее – проецирующего положения. Частное расположение

одной из фигур вносит значительные упрощения в решение поставленной задачи, которые необходимо всегда учитывать.

4.2.2 Определение точки пересечения прямой с плоскостью /плоскость – проецирующая, прямая – общего положения/.

В задаче, изображенной на рис.4.9а заданная плоскость a -фронтально-проецирующая.

Рис.4.9а

Рис. 4.9б

В задаче, изображенной на рис.4.9б плоскость, заданная треугольником ABC, является горизонтально - проецирующей плоскостью.

Упрощение решения в данном случае состоит в том, что одну проекцию точки пересечения прямой с плоскостью мы видим на чертеже сразу, из условия ее принадлежности проецирующей фигуре – плоскости /это точку K ¢ ¢ на рис.4.9а и K ¢ на рис.4.9б/.

Вторая проекция точки определяется из условия ее принадлежности фигуре общего положения – прямой.

Далее, считая плоскость непрозрачной, определяем видимые и невидимые участки прямой.

4.2.3 Определение точки пересечения прямой с плоскостью /плоскость – общего положения, прямая – проецирующая/.

На первом примере /рис.4.10а/ прямая l является горизонтально- проецирующей прямой, во втором /рис.4.10б/ - фронтально – проецирующей прямой.

Как и в предыдущей задаче одну проекцию точки пересечения прямой с плоскостью видим сразу / K ¢ в задании 4.10а/ и / K ¢ ¢ в задании 4.10б/, т.е. из условия ее принадлежности проецирующей фигуре – прямой.

Вторую проекцию точки находим из условия ее принадлежности фигуре общего положения – плоскости.

Рис.4.10а

Рис. 4.10б

Если угодно, то можно говорить о построении второй проекции точки с помощью вспомогательной секущей плоскости l.

Но, как видно из чертежа, оба решения будут графически совпадать.

Окончанием решения задачи, как и во всех предыдущих случаях, будет выделение видимых и невидимых участков прямой l.

Содержание лекции №4 изложено в учебнике С.А.Фролова на стр.118-124.

Локтев О.В. стр.26-27, 32-36.