Пропускная способность непрерывного канала связи с шумами

Информация о непрерывном сигнале s(t), получаемая из принимаемой смеси сигнала и шума y(t) = s(t) + n(x)

I(Y, S) = H(Y) – H(Y/S). (2.21)

Так как сигнал и шум статистически независимы, энтропия равна энтропии шума (как случайной величины, сигнал детерминирован и энтропия от него H(S)=0)

H(Y/S) = H(n)

И тогда

I(Y, S) = H(Y) – H(n). (2.22)

Входной сигнал ограничим по полосе пропускания и определим отсчеты по Котельникову (отсчеты независимы и некоррелированы)

.

Количество информации о текущем значении передаваемого сигнала s(t), вносимое дискретным отсчетом принимаемого сигнала y(t), может быть представлено разностью энтропий (приведенных, т.к. процесс непрерывный):

I(Y, S) = H^*(Y) – H^*(n);

.

Отсчеты y(t) = s(t) + n(t) распределены по Гауссу с дисперсией .

(2.23)

Скорость передачи информации – это количество информации в единицу времени, т.е.

,

т.к. ; , и окончательно (формула Шеннона):

(2.24)

Если Р_s/Р_ш → 0, то С → 0.

Величину (1 + Р_s/Р_ш) – характеризует количество уровней непрерывного сигнала, различимых на фоне шума при данном отношении Р_s/Р_ш. Поэтому количество информации, приходящееся на 1 отсчет, будет в данном случае таким же, как для дискретного источника с числом состояний
(1 + Р_s/Р_ш).

Казалось бы, что можно увеличить скорость передачи информации с увеличением полосы Δ F. Исследуем это предположение.

Преобразуем полученные выражения:

Р_ш = N₀ × Δ F,

тогда

С = Δ F × log₂(1 + Р_s / N₀ × Δ F).

Устремим Δ F → ∞ и раскроем неопределенность

. (2.25)

Пропускная способность стремится к const.

, т.к. log₂e = 1, 443

Скорость передачи информации С стремится к const, определяемой отношением средней мощности сигнала P_s к спектральной плотности шума.

Т.е. обмен мощности сигнала на полосу пропускания для обеспечения заданной пропускной способности непрерывного канала возможен в небольших границах, за которыми дальнейшее расширение полосы пропускания дает уже малый эффект.

Как следует из С_∞ , для передачи заданного количества информации по каналу с шумом отношение энергии сигнала к спектральной плотности шума h² = P_sT / N₀ (I = C × Т – на время сигнала) должно превышать некоторую пороговую величину. В самом деле, если на передачу сообщения затрачено время Δ Т, то среднее количество переданной информации,
I(Y, S) ≤ TC_∞, т.к. пропускная способность канала при любой полосе ∆ F не может превзойти предельное значение (∆ F → ∞). Таким образом,
I(Y, S) ≤ (P_sT/N₀)log₂e и, следовательно, для передачи 1 бита информации необходима энергия сигнала .

. (2.26)

Максимальный объем информации, которую можно в среднем передать по непрерывному каналу за время Т_к: V = Т_к × С, т.е. для Гаусова канала

V_к = Т_к × F_к × log₂(1 + ).

Если принять, что P_s/P_ш > > 1 и единицей пренебречь

V_к = Т_к × F_к × log₂() = Т_к × F_к × D_к. (2.27)

где V_к – емкость канала;

D – динамический диапазон (в логарифмах).

Объем сигнала

V_с = Т_с × F_с × D_с. (2.28)

Неискаженная передача возможна только при условии

V_с ≤ V_к.

Рис. 2.3.

Важно передавать " объем" сигнала, а не его форму. Это дает возможность " трансформировать" объем. Например, уменьшение полосы частот (Δ F) должно приводить к увеличению времени (Т_к) для сохранения объема или к увеличению D_к – динамического диапазона, и наоборот.

Сравним пропускные способности дискретного и непрерывного каналов.

Для непрерывного канала:

пронормируем по ∆ F

. (2.29)

Для дискретного канала с шумами:

или

и тогда

; ;

.

Для бинарного канала с учетом по Котельникову

.

Для бинарного канала L = 2

.

. (2.30)

Для бинарного сигнала

математическое ожидание (осреднение):

,

q₀ – вероятность ошибки P(x_i / y_к).

тогда

.

Пронормируем по ∆ F

.

, если q₀ → 0 (при )

Если основание не 2, а m, то

и

. (2.31)

При m → ∞, → к непрерывному.

Рис. 2.4.

Для непрерывного канала монотонно возрастает, для бинарного ограниченно (2 бит), для m-ичного больше.

Литература:

[1] стр. 141-148. [2] стр. 252-255. [3] стр. 124-129.

Контрольные вопросы:

1. Как влияет расширение полосы часто на пропускную способность непрерывного канала связи?

2. Чему равна минимальная энергия для передачи сигналов?

3. Как объем алфавита источника влияет на пропускную способность канала связи?

4. Чему равна пропускная способность канала связи, составленного из последовательного соединения нескольких каналов с различными пропускными способностями? А при параллельном соединении?

5. Как " согласовать" канал связи с сигналом?

[1] Понятие усреднения (определение среднего значения), процедура которого обозначается символом М[ ] (см лекцию 1)