Криволінійні інтеграли, що не залежать від шляху інтегрування

Означення. Інтеграл не залежить від шляху інтегрування, якщо результати інтегрування вздовж будь-яких кривих, які з’єднують точки та , збігаються, тобто, якщо

. (рис. 7.5).

Рис. 7.5.

Теорема 1. Для того, щоб інтеграл бувне залежним від шляху інтегрування, необхідно і достатньо, щоб в кожній точці області виконувалася умова

. (7.9)

Теорема 2. Якщо в кожній точці області функції та неперервні й мають неперервні частинні похідні, для яких , то вираз є повним диференціалом неперервної функції

,

тобто .

Функцію називають потенціальною функцією.

Зауваження. Теорема 2 дозволяє знаходити функцію за її повним диференціалом, використовуючи криволінійний інтеграл. Для цього треба зафіксувати певну точку , а потім, взявши довільну точку , сполучити їх будь-якою довільною простою кривою й обчислити , аби лише вздовж цієї кривої виконувалися умови теореми існування криволінійного інтеграла другого роду.

Приклад 4. Переконатися, що вираз є повним диференціалом певної функції і знайти її за допомогою криволінійного інтеграла другого роду.

Розв’язання. Насамперед переконаємося, що наведений вираз є повним диференціалом певної функції .

Позначимо .

Знайдемо частинні похідні

Очевидно, що , тобто, насправді, даний вираз є повним диференціалом певної функції :

.

Знайдемо функцію , обчислюючи криволінійний інтеграл, наприклад, вздовж кривої , що складається з двох відрізків: і (рис. 7.6), тобто

.

Рис. 7.6.

Зазначимо, що на : ;

на : ,

отже

Відповідь: , де – довільна стала.

Слід зауважити, що при розв’язанні даного приклада ми не можемо помістити точку в початок координат, тому що в цьому випадку підінтегральна функція буде мати розрив, тобто порушиться умова теореми існування визначеного інтеграла.