Основные положения теории оболочек

Следует отметить, что чем меньше отношение толщины h обо­лочки к ее радиусу R, тем точнее выполняется предположение о постоянстве напряжений по толщине и тем более точнее выпол­няются расчеты по безмоментной теории.

Отметим, что оболочка считается тонкой, если h/R≤ 1/20.

Следовательно, при расчете на прочность тонких оболочек в зависимости от характера распределения внешних нагрузок, опорных закреплений, применяется или безмоментная или моментная теория. При этом предполагается равномерное распределение напряжений по продольным и поперечным сечениям оболочек (отсутствие в этих сечениях изгибающих, крутящих моментов и попе­речных сил).

При осесимметричной нагрузке отсутствуют также сдвигающие силы. Определение усилий по безмоментной теории производится достаточно точно на расстоянии, превышающем величину (3÷ 5) от мест скачкообразного изменения формы или площади сечения, жестких контурных закреплений или от места приложения внешних сосредоточенных сил и моментов. Вблизи указанных мест возникают дополнительные напряжения от изгибного эффекта.

В моментной и безмоментной теории тонких оболочек или, так называемой технической теории оболочек, состоящей в рез­ком различии их толщины и габаритных размеров, влечет за собой возможность упрощения теории путем некоторой схематизации действительной работы конструкций. Эта схематизация формируется в используемых гипотезах, аналогичных гипотезам в теории стержней, т.е. гипотезам плоских сечений и гипотезам “ненадавливания” слоев оболочки друг на друга.

Эти гипотезы позволяют свести трехмерную задачу механики сплошной среды к двумерной, подобно тому как в теории стержней трехмерная задача сведена к одномерной.

Далее в технической теории тонких оболочек пренебрегают членами h / R по сравнению с единицей.

Оболочки, к которым применимы упомянутые выше гипотезы, называются тонкими, а те, к которым эти гипотезы не применимы, называются толстыми.

Граница между тонкими и толстыми оболочками условны и определяются отношением h/R≈ 1/20.

В тех случаях, когда h/R≥ 1/20 для получения приемлемых ре­зультатов по точности применяется аппарат механики сплошной среды, в частности теории упругости или пластичности в зависи­мости от постановки задачи [1].

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вращения, толщина которой мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности (рис.1).

При расчете тонкостенных оболочек все нагрузки, действующие на них, прикладывают к срединной поверхности оболочки.

К тонким оболочкам могут быть отнесены такие часто встречающиеся элементы конструкций как резервуары, цистерны, газовые баллоны, корпуса аппаратов химических агрегатов и др.

При расчете таких элементов конструкций используется безмоментная теория оболочек, основные положения которой заключаются в следующем:

1. нагрузки, действующие на поверхности оболочки, могут считаться перпендикулярными им и симметричными относительно оси вращения оболочки;

2. вследствие малой толщины оболочки сопротивление изгибу отсутствует (изгибающий момент не возникает);

3. напряжения по толщине стенки оболочки распределены равномерно.

Из оболочки, изображенной на рис.1 выделим двумя меридиональными плоскостями nn₁n₂ и nn₃n₂, (т.е. плоскостями проходящими через ось симметрии оболочки), с углом dφ между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки BC и AD, элемент ABCD.

Радиусы кривизны O₂A и O₂B элемента ABCD в меридиональной плоскости обозначим через R₂, а радиусы кривизны O₁B и O₁C в плоскости, перпендикулярной меридиану, обозначим через R₁. Нормальные напряжения, действующие по боковым граням AB и CD, соприкасающимся с меридиональными плоскостями, называются окружными напряжениями σ _t. Нормальные напряжения, действующие по боковым граням BС и AD, называются меридиональными напряжениями σ _s. Кроме напряжений σ _s и σ _t. на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления q, перпендикулярного поверхности ABCD.