Аннотация. Министерство образования РФ

Министерство образования РФ

Тульский государственный университет

Кафедра электротехники и электрооборудования

Мельников Б. А.

Анализ переходных процессов в линейных электрических целях с сосредоточенными параметрами классическим методом

Методическое пособие по курсам ''Теоретические основы электротехники'' и ''Теоретическая электротехника''

Тула 2000г.

Аннотация.

Методическое пособие предназначено для студентов электротехнических специальностей всех форм обучения. Может быть полезно при подготовке к практическим занятиям и выполнении расчетно-графических работ по курсам «Теоретические основы электротехники» и «Теоретическая электротехника».

В пособии изложен порядок расчета переходных процессов в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами классическим методом. Приведены примеры расчета для электрических цепей различной сложности.

УДК 621.3/4

Переходные процессы возникают в электрических цепях при включениях и отключениях ветвей, коротких замыканиях отдельных участков, внезапных изменениях параметров элементов и так далее. Если цепь содержит только активные сопротивления, то переходные процессы происходят мгновенно. При наличии в цепи индуктивностей или емкостей переходные процессы имеют определенную длительность. Это связано с тем, что запасенная в них энергия не может измениться скачком, что потребовало бы бесконечно больших мощностей в индуктивностях и емкостях, а это лишено физического смысла.

Таким образом, если в цепи происходит коммутация, то происходит изменение ее электрического режима из одного устойчивого состояния в другое устойчивое состояние. Такое изменение и называется переходным процессом. Характер переходного процесса определяется динамическими свойствами электрической цепи.

Введем обозначения:

t(0) – момент коммутации;

t(0-)-момент времени, непосредственно предшествующий коммутации;

t(0+)-момент времени непосредственно следующий за коммутацией.

Фактически t(0), t(0-), t(0+) – это один момент времени, соответствующий началу переходного процесса, а разделение его на три сделано для удобства записи выражений, описывающих переходные процессы.

Процессы, происходящие в цепи, подчиняются законам коммутации. Сформулируем два обобщенных закона коммутации:

1. При переходе от t (0-) к t (0+) суммарное потокосцепление каждого замкнутого контура послекоммутационной схемы не должно претерпевать скачкообразных изменений.

Суммарное потокосцепление представляет собой алгебраическую сумму произведений токов ветвей этого контура на индуктивности их индуктивных элементов. Со знаком плюс в эту сумму входят слагаемые ветвей, направление токов в которых совпадает с произвольно выбранным направлением обхода контуров.

2. При переходе от t(0-) к t(0+) суммарный заряд на обкладках конденсаторов, присоединенных к любому узлу послекоммутационной схемы, должен остаться неизменным..

В большинстве случаев переходные процессы подчиняются законам коммутации, носящим частный характер:

1а). В любой цепи с индуктивностью ток и магнитный поток в момент коммутации сохраняют те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и дальше начинают изменяться именно с этих значений, т.е. .

А). В любой ветви напряжение и заряд на емкости сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются, начиная именно с этих значений, т.е..

В общем случае любая величина (ток, напряжение) в цепи описывается неоднородным дифференциальным уравнением. Режим электрической цепи до начала переходного процесса назовем докоммутационным. Когда переходный процесс заканчивается, наступает принужденный режим. Если в цепи действует источник постоянной или периодически изменяющейся ЭДС, то принужденный режим называют установившимся. Разность переходной и принужденной величин называется свободной величиной.

В соответствии с правилом решения неоднородных дифференциальных уравнений их общее решение равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Свободная величина представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения и в его выражении должны быть постоянные интегрирования, число которых равно порядку дифференциального уравнения.

Принужденная величина представляет собой частное решение неоднородного уравнения и в ее составе не должно быть слагающих свободной величины. Начальными условиями назовем значения переходных токов в индуктивностях и напряжений на емкостях в момент коммутации. Иногда эти начальные условия называют независимыми.

Рассмотрим порядок расчета переходных процессов классическим методом, проиллюстрировав его примерами.

П Р И М Е Р 1.

В схеме заданной электрической цепи (рис.1) происходит размыкание ключа Кл 1. Определить ток, протекающий в сопротивлении R₂.

Исходные данные для расчета:

R₁ = 100 Ом;

R₂ = 50 Ом;

R₃ = 50 Ом;

R₄ = 25 Ом;

C = 8, 6 мкФ;

L = 25, 8 мГн;

e = 100 В.

Рис. 1

1. РАСЧЕТ ДОКОММУТАЦИОННОГО РЕЖИМА.

Расчетная схема приведена на рис. 2.

В докоммутационном режиме расчитываются величины и направления токов в индуктивности и напряжений на емкостях.

Принимая во внимание, что при расчете цепи постоянного тока индуктивность можно заменить перемычкой, а емкость – разрывом в ветви, расчитаем u_c(0-) и i₃(0-).

Рис. 2

Выберем направления этих величин как показано на схеме рис.2. Сопротивления R и R₄ соединены параллельно. Заменим их эквивалентным сопротивлением R₃₄:

R₃₄=R₃·R₄/(R₃+R₄)=50·25/(50+25)=17 Ом;

i₁(0-)=0; i₂(0-)=E/(R₂+R₃₄) =100/(50+17)=1, 5A;

u_с(0-)=u_ab(0-)=Е-R₂i₂(0-)=100-50·1, 5=25B;

i₃(0-)=u_ab (0-)/R₃=25/50=0, 5A.

Следовательно независимые начальные условия таковы:

i₃(0-)=0, 5 A; u_c(0-)=25B.

Направления тока i₃(0-) и u_c(0-) показаны на схеме рис.2.

2. РАСЧЕТ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА.

Расчитываются искомые величины в установившемся режиме. Расчет производится для послекоммутационной цепи после размыкания ключа Kл1 по окончании переходного процесса. Схема послекоммутационной цепи приведена на рис.3.

Рис. 3

Снова, принимая во внимание, что при расчете цепи постоянного тока индуктивность можно заменить перемычкой, а емкость - разрывом, получим

i_2y=E/(R₂+R₃)= =100/(50+50)=1A.

3.РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОГО РЕЖИМА.

Расчет производится для послекоммутационной схемы (рис. 3) с учетом независимых начальных условий.

3.1. Записываем искомую величину в переходном режиме в виде суммы установившейся и свободной составляющих, которые соответственно являются частным решением неоднородного дифференциального уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения для искомой величины: i₂=i_2y+i_2cв=1+i_2cв.

3.2. Определяем вид свободной составляющей.

Вид свободной составляющей определяется корнями характеристического уравнения, описывающего искомую величину.

Составим и решим характеристическое уравнение, для чего наиболее удобно использовать метод Z_вx(p)=0, где Z_вx(p) –операторное входное сопротивление, определенное для схемы свободных токов.

Рис. 4

Построив схему свободных токов (рис. 4) и разомкнув какую либо ветвь (например, ветвь 1), найдем входное сопротивление Z_вx(p) относительно полюсов разрыва и приравняем его нулю. Удобнее размыкать ветвь, содержащую емкость. На схеме рис.4 емкости соответствует операторное сопротивление 1/рС, а индуктивности – операторное сопротивление рL.