Тема 6. Обратная задача динамики

6.1. Сила F сообщает ускорение телу массой m ₁ ускорение а ₁ = 1, 0 м/с², телу массой m ₂ ускорение а ₂ = 4, 0 м/с². Какое ускорение а ₃ под действием той же силы получат оба тела, если их соединить вместе? а ₃ = …(м/с²).

Ответ: 0, 8

6.2. Одинаковые грузы массой 100 г каждый прикреплены к нити, переброшенной через блок. На один из грузов действует вертикально вниз сила 24 мН (миллиньютон) (см. рис.). Какой путь s (см) пройдёт каждый из грузов за 3 с?

Ответ: 54

6.3. Тело весом массы m = 2 (кг) поместили на шероховатую наклонную плоскость с углом наклона α = 60^о (коэффициент трения скольжения f = 0, 3; ускорение свободного падения g = 9, 8 м/с²).

Ускорение (м/с²) тела при движении по наклонной плоскости равно…

Ответ: 7, 0

6.4. Тело массой m = 18, 4 кг падает по вертикали, сила сопротивления воздуха R = 0, 05 ּ v ² (Н). (Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 9, 8 м/с².) Определить максимальную скорость падения тела (м/с).

Ответ: 60

6.5. Материальная точка движется по окружности радиуса R = 25 м согласно уравнению s = 0, 5ּ t ² (s – в метрах, t – в секундах). Известно, что через промежуток времени t = 5 сек. от начала движения модуль действующей на точку силы равен F = (Н). Определить массу этой точки. m = … (кг).

Ответ: 1

6.6. Материальная точка массы m = 1 кг движется относительно инерциальной системы отсчёта под действием двух постоянных сил: и (Н). Начальная скорость точки равна нулю. Определить пройденный путь за время 1 сек. то начала движения.

Ответ: 2ּ

6.7. Материальная точка массы m = 1 кг движется из состояния покоя под действием силы = (t ² - 3ּ t + 2)ּ вдоль оси О х (F – в ньютонах; t – в секундах). Определить модуль наименьшего ускорения точки; | а _min| =… (м/с²).

Ответ: 0, 25

6.8. Груз массой m может скользить без трения по стержню, укреплённому перпендикулярно к оси ОА (см. рис.) центробежной машины. Груз соединяют с осью пружиной с коэффициентом жёсткости с. При какой угловой скорости ω пружина растянется на 50% первоначальной длины?

Ответ:

6.9. С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на повороте радиусом закругления R = 100 м, чтобы не «занесло», если коэффициент трения скольжения шин о дорогу k = 0, 4? (Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 10 м/с²; результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

v = … (м/с).

Ответ: 20

6.10. Люстра массой m = 80 кг подвешена к потолку на металлической цепи, длина которой l = 5 м. Определить высоту h (м), на которую можно отклонить люстру, чтобы при последующих качаниях цепь не оборвалась? Известно, что разрыв цепи наступает при натяжении Т = 1960 Н (Ускорение свободного падения принять равным g = 9, 8 м/с².)

h < … (м).

Ответ: 3, 75

6.11. Найти период вращения маятника, совершающего круговые движения в горизонтальной плоскости. Длина нити l. Угол, образуемый нитью с вертикалью, α (см. рис.).

Отметьте правильный ответ. (g – ускорение свободного падения.)

Ответ:

6.12. На повороте дороги радиусом R = 75 м равномерно движется автомобиль. Центр тяжести находится на высоте h = 1 м, ширина следа автомобиля а = 1, 5 м. Определить скорость v _кр, при которой автомобиль может опрокинуться. В поперечном направлении автомобиль не скользит. (Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 9, 8 м/с²; результат вычисления округлить до ближайшего целого числа.)

v _кр = … (м/с).

Ответ: 23

6.13. Внутри конической поверхности обращается шарик по окружности радиусом R (см. рис.). Угол при вершине конуса 2 α. (g – ускорение свободного падения.) Определить период обращения шарика по окружности.

Отметьте правильный ответ.

Ответ:

6.14. Человек сидит на краю круглой горизонтальной платформы радиусом R = 5 м. Сколько оборотов n в минуту должна делать платформа вокруг вертикальной оси, чтобы человек не смог удержаться на ней при коэффициенте трения f = 0, 2? (Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 9, 8 м/с²; результат вычисления округлить до целого числа.) n = … (об/мин).

Ответ: 6

6.15. Два груза одновременно начинают движение из состояния покоя с высоты h над горизонтальной поверхностью пола, причём груз соскальзывает без трения по плоскости, составляющей угол α = 30^о с горизонтом, а второй свободно падает. Определить отношение времён t ₁/ t ₂ при достижении ими поверхности пола.

t ₁/ t ₂ = …

Ответ: 2

6.16. Космонавты, высадившиеся на поверхности Марса, измерили период обращения конического маятника, представляющего собой небольшое тело, прикреплённое к нити и движущееся по окружности в горизонтальной плоскости с постоянной скоростью (см. рис.). Период оказался равным Т = 3, 03 сек. Длина нити l = 1 м. Угол создаваемый нитью с вертикалью, α = 30^о. Найдите по этим данным ускорение свободного падения на Марсе g (м/с²).

Ответ: 3, 72

6.17. Какую начальную скорость v _о (м/с) имел снаряд, вылетевший из пушки под углом α = 30^о к горизонту, если он пролетел расстояние s =17 895 м? Известно, что сопротивление воздуха уменьшило дальность полёта в 4 раза.

(Ускорение свободного падения в вакууме принять равным g = 9, 8 м/с²; результат вычисления округлить до целого числа.) Отметьте правильный ответ.

Ответ: 900

6.18. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_x = v_x (H) с начальной скоростью v ₀ = 1 (м/с), направленной вдоль оси Ox, v_x = dx / dt. Приняв начальное положение матер. точки за начало отсчёта, найти координату x (м) точки в момент времени t = 1 с. (Результат вычисления округлить до второго знака после запятой включительно.)

Ответ: 1, 72

6.19. Искусственный спутник Земли, обращающийся по круговой орбите, переводится на другую круговую орбиту, радиус которой в 2, 56 раза больше радиуса исходной орбиты.

Во сколько раз уменьшается скорость движения спутника по орбите? v ₁/ v ₂ = …

Ответ: 1, 6

6.20. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы сопротивления, пропорциональной скорости v (F _сопр = kּ v, k = 0, 2 Нּ сек/м). Какое расстояние s пройдёт матер. точка, прежде чем её скорость уменьшится в 2 раза? Начальная скорость точки равна v ₀ = 12 м/с. s = … (м).

Ответ: 30

6.21. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_х = (1 – x) (Н). Начальная скорость v ₀ = 1 м/с. Начальное положение точки принять за начало отсчёта. Определить уравнение движения матер. точки.

Отметьте правильный ответ.

Ответ: x = sin (t) – cos (t) + 1

6.22. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы сопротивления, пропорциональной скорости v (F _сопр = kּ v, k = 0, 05 Нּ сек/м). За какое время t ₁ от начала движения скорость точки уменьшится в 2 раза? Начальная скорость точки равна v ₀ = 12 м/с. (Результат вычисления округлить до целого числа.) Отметьте правильный ответ.

Ответ: 14

-: 15

6.23. Матер. точка массы m = 1 кг с начальной скоростью v ₀ = 12 м/с движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы сопротивления, пропорциональной скорости v (F _сопр = kּ v, k = 0, 2 Нּ сек/м). Какое расстояние s пройдёт матер. точка до полной остановки? s = … (м).

Ответ: 60

6.24. Матер. точка массы m = 1 кг движется из начала координат вдоль горизонтальной оси Ох, имея начальную скорость v ₀ = 2 м/с и испытывая силу сопротивления движению, пропорциональную квадрату скорости: (Н), где k = 0, 1 Нּ с/м. Определить время от начала движения t ₁ (сек.), на которое скорость матер. точки уменьшится в два раза. t ₁ = … (сек).

Ответ: 5, 0

6.25. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_х = 3ּ (Н). Начальная скорость точки равна v ₀ = 1 м/с. Определить расстояние s (м), на которое переместится точка за время 2 сек. (Результат вычисления округлить до целого числа.)

Ответ: 47

6.26. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_х = - 4ּ (Н). Начальная скорость точки равна v ₀ = 1 м/с. Начальное положение точки принять за начало отсчёта. Определить закон движения точки.

Ответ: x = t ּ e^{– 2ּ t}

6.27. Матер. точка массы m = 1 кг движется вдоль горизонтальной оси Ox под действием силы F_х = – (Н). Начальная скорость точки равна нулю; начальное смещение х ₀ = 1 м. Определить закон движения точки.

Ответ: x = e ^{– 0, 5ּ t} [cos ]

6.28. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы, пропорциональной смещению точки от центра О и направленной к этому центру , где - радиус-вектор точки, c - коэффициент пропорциональности. В начальный момент матер. точка находилась в точке М ₀ с координатами х = х ₀ и у = 0 и ей сообщили начальную скорость ₀, направленную параллельно оси Oy т.е. v _{0 x} = 0, v _{0 y} = v ₀. Найти уравнение траектории матер. точки.

Ответ: + ּ = 1

6.29. Матер. точка массы m движется в горизонтальной плоскости Oxy под действием силы отталкивания от неподвижного центра О, изменяющейся по закону пропорциональной смещению точки от центра О и направленной к этому центру = k ² ּ mּ , где - радиус-вектор точки. В начальный момент точка находилась в М ₀ с координатами х = х ₀ и у = 0 и ей сообщили начальную скорость ₀, направленную параллельно оси Oy т.е. v _{0 x} = 0, v _{0 y} = v ₀. Найти уравнение траектории точки.

Ответ: – ּ = 1

6.30. Матер. точка массы m движется с начальной скоростью v ₀ = 1 м/с в среде с сопротивлением. Сила сопротивления пропорциональна кубичному корню скорости матер. точки и по величине равна kּ , k = 0, 1 ּ m – коэффициент сопротивления. Определить расстояние s, которое пройдёт матер. точка до остановки; s = … (м).

Ответ: 6

6.31. Матер. точка массы m движется с начальной скоростью v ₀ = 1 м/с в среде с сопротивлением. Сила сопротивления пропорциональна кубичному корню скорости матер. точки и по величине равна kּ , k = 0, 1 ּ m – коэффициент сопротивления. Определить время t ₁, за которое пройдёт матер. точка до остановки; t ₁ = … (сек.).

Ответ: 15

6.32. Два геометрически равных и однородных шара сделаны из различных материалов – 1) из железа и 2) керамики. Плотности материалов соответственно: железа ρ ₁ = 7, 874ּ 10³ кг/м³, керамики ρ ₂ = 1, 960ּ 10³ кг/м³. Оба шара падают в воздухе. Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости (R = kּ v ²). Определить отношение максимальных скоростей шаров. (Результат вычисления округлить до первого знака после запятой включительно.)

v _1max / v _2max = …

Ответ: 2, 0

Тема 7. Общие теоремы динамики (теорема об изменении количества движения; теорема об изменении кинетической энергии; вычисление работы; Потенциальное силовое поле. Работа потенциальной силы).