Задача С2. Визначення центра ваги пласких однорідних тіл

Знайти координати центра ваги плоскої фігури відносно заданих осей координат. Задані розміри перерізу плоскої фігури вибрати за варіантом у відповідності до таблиці. Схеми завдань за варіантом показані на рисунку 2.1- 2.3.

Таблиця – Вихідні дані задачі С2

Рисунок 2 -1 – Схеми завдань задачі С2 (варіанти 1-10)

Рисунок 2-2– Схеми завдань задачі С2 (варіанти 10-20)

1.2. Методика виконання задачі С2

Теоретичні відомості

Сила ваги – сила з якого тіло притягується до Землі.

Сили ваги, що діють на кожну окрему елементарну частинку паралельні між собою.

Центром ваги тіла називають центр паралельних сил ваги всіх елементарних частинок цього тіла.

Для плоских перерізів координати центра ваги знаходять за допомогою формул:

(1.1)

де А_і – площа окремого плоского перерізу (фігури на які розбита основна фігура);

Х_і, у_і – координати центра ваги окремого плоского перерізу (фігури);

Σ А_і – площа всього плоского перерізу (фігури);

а)центр ваги трикутника б) центр ваги прямокутника

в) центр ваги півкола

Рисунок 2.1. – Координати центру ваги

Центр ваги трикутника (точка С) знаходиться в точці перетину його медіан (медіана – відрізок, що з'єднує вершину трикутника та середину протилежної сторони). Координати центру ваги (Хс, Yс) прямокутного трикутника позначені на рисунку 2.1. а.

Хс=1/3 a; Yс=1/3 b (1.2)

Центр ваги прямокутника знаходиться в точці перетину його діагоналей (точка С)

Координати центру ваги прямокутника (Хс, Yс) позначені на рисунку 2.1. б.

Хс = а/2; Yc = b/2 (1.3)

Центр ваги півкола (точка С) знаходиться в точці, що належить його осі симетрії.

Yс=4R /3π; Хс=0. (1.4)

При розв'язуванні задачі необхідно використовувати формули знаходження площин простих фігур:

А=1/2 а b – площа прямокутного трикутника (1.5)

А=аb – площа прямокутника (1.6)

А=π R² – площа кола (1-7)

А=π R²/2 – площа півкола (1.8)

Задача. С 2 Визначити центр ваги наданого плоского перерізу, зображеного на рисунку 2.2, відносно заданих осей координат. Розміри перерізу надані в міліметрах

1)прямокутник з розмірами 50 х 26;

2)коло радіуса R = 13;

3)прямокутник з розмірами 70 х 15;

4)трикутник з розмірами 21x 15;

5)трикутник з розмірами 21 х 15

2. Позначимо центри ваги кожної простої фігури на рисунку 1.3.

Центр ваги прямокутника 1, точка С₁. Знайдемо її координати за формулою (1.3) X = 50: 2 = 25 мм Y = 26: 2 = 13 мм.

Визначимо координати точки С1 відносно заданих осей координат ОX та ОY. Х₁ = 0, (точка С₁ належить осі ОY), Y₁ = 13 мм, таким чином С₁(0; 13).

Центр ваги кола 2, точка С₂ знаходиться в центрі кола. Знайдемо її координати точки Х₂ = 0; Y₂ = R = 13 мм таким чином С₂ (0; 13), тобто координати точок С₁ та С₂ однакові, значить точки співпадають.

Центр ваги прямокутника 3-точка С₃. Знайдемо її координати за формулою (1.3) X = 70: 2 = 35 мм, Y = 15: 2 = 7, 5 мм.

Центр ваги трикутника 4 точка С₄. Знайдемо її координати за формулою (1.2) X = 21: 3 = 7мм, Y = 15: 3 = 5 мм.

Визначимо координати точки С₄ відносно заданих осей координат ОX та ОУ. Х4 = -35-7 = -42 мм, Y₄ = -5, тоді С₄ (-42; -5).

Центр ваги трикутника 5 точка С₅. Знайдемо координати за формулою (1.2). X = 21: 3 = 7мм, Y = 15: 3 = 5 мм.

Визначимо ці координати відносно заданих осей координат ОХ та ОY

Х₅ = 35 + 7 = 42 мм, Y₅ = -5 мм, С₅ (42; -5).

3. За допомогою відомих формул (1.6), (1.5), (1.7), обчислимо площі наданих п'яти фігур:

1) площа прямокутника 1

А₁ = 50 x 26 = 1300мм²

2) площа кола 2 від'ємна, тому що коло є порожниною (метод від'ємних мас).

А₂ = 3.14 х 13² = -530, 7 мм²

3) площа прямокутника 3

А₃ = 70 х 15 = 1050мм²

4) площа трикутників 4 та 5 буде однакова:

А₄ = А₅ = (21 х 15): 2 = 157, 5мм²

3. Формули (1.1) для наданої плоскої фігури матимуть вигляд:

;

Підставимо обчислені значення величин, отримуємо:

мм

мм

Відповідь: С (0; 0, 25)