A*B не равно В*A

2. A+B=B+A (коммутативность)

3. (А+В)+С=А+(В+С) (ассоциативность)

4. А*Е=Е*А=А (умножение на единичную матрицу)

5. А+ нулевая матриуа О=А

6. (для любой матрицы А) существует матрица (-А) такая что А+(-А)=0

7. (С1+С2)*А=А*С1+А*С2(дистрибутивность)

8. С(А1+А2)=СА1+СА2(!!! если матрицы одинаковой размерности)

9. (А+В)^T= А^T+ В^T

10. (А*В)^T= А^T* В^T

11. (C*A) ^T=c*A^T

12. (A^T)^T=A

· Понятие абсолютной и относительной погрешностей Определение верных и значащих цифр числа. Примеры.

При решении различных прикладных задач часто ставится условие получить результат с определенной точностью ε, например Что это значит? Точность вычисления в вычислительной математике определяется количеством цифр результата, заслуживающих доверия, а не числом десятичных знаков после запятой.

Известно, что любое число можно представить в виде конечной или бесконечной дроби

де – цифры числа , – основание системы счисления, причем , – некоторое целое число (старший разряд числа ).

Если , то, например, для числа 327, 012… можно записать представление

.

В основном на практике имеют дело с приближенными числами – конечными дробями. Пусть . Тогда, например, для числа , состоящего из m цифр, имеет место такое представление:

Все сохраняемые десятичные знаки называются значащими цифрами числа , среди них есть равные нулю, за исключением .

Итак, значащими цифрами числа называют все цифры в его представлении, начиная с первой отличной от нуля слева. Если при записи числа 237000 надо показать, что три последних нуля не являются значащими цифрами, то пишут это число следующим образом: , или , или , или .

Абсолютные и относительные погрешности для приближенных вещественных чисел тесно связаны с очень важным понятием верных значащих цифр Говорят, что число X имеет M верных значащих цифр, если для абсолютной погрешности числа справедливо неравенство где

-я цифра числа считается сомнительной. В случае, когда выполняется при , говорят о верных значащих цифрах числа в узком смысле слова, а когда , то в широком смысле. Если , то получим, что .

Абсолютная погрешность – это значение, вычисляемое как разность между значением величины, полученным в процессе измерений, и настоящим (действительным) значением данной величины. Измеряется в единицах измеряемой величины.

Относительная погрешность – это частное от деления абсолютной погрешности на модуль приближенного значений измеряемой величины. Измеряется в %

Относительная погрешность – это число, отражающее степень точности измерения.

Верные и значащие цифры числа.

Верная цифра, по определнию в узком смысле, - это цифра, погрешность для которой половина единицы разряда данной цифры превосходит погрешность задания числа.

Верные цифры числа a = 356.78245 подчеркнуты.
Если dA=0.01, то верных цифр в числе 5: a = _356.78_245.
Если dA=0.03, то верных цифр в числе 4: a = _356.7_8245.
Если dA=0.00006, то верных цифр в числе 7: a = _356.7824_5.
Если dA=0.00006, то верных цифр в числе 8: a = _356.78245_.
Значащая цифра - любая цифра, стоящая правее нулей слева числа. Т.е. у 0, 0123 значащие цифры - 123.

Значащие цифры числа А- все цифры числа А, начиная с первой, отличной от нуля слева.

Пример: 237000, 237-значащие цифры. Можно записать 237*10^3

Цифра какого-либо 10-чного разряда называется верной в записи приближенного значения, если абсолютная погрешность приближенно не превосходит единицы этого разряда.

Пример

Сомнительные цифры – все цифры приближенного значения числа, расположенные правее последней верной цифры.