Где -объём параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Для векторов , и , заданных координатами , , смешанное произведение вычисляется по формуле: .

Смешанное произведение применяют: 1) для вычисления объёмов тетраэдра и параллелепипеда, построенных на векторах , и , как на рёбрах, по формуле: ; 2) в качестве условия компланарности векторов , и : и - компланарны.

Тема 5. Линии на плоскости.

Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор перпендикулярный данной прямой. Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой вектор параллельный данной прямой.

Прямая на плоскости в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) - общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;

2) - уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно данному вектору ;

3) - уравнение прямой, проходящей через точку параллельно данному вектору (каноническое уравнение);

4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки , ;

5) - уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит; () – угол, который прямая составляет с осью ; - длина отрезка (со знаком ), отсекаемого прямой на оси (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

6) - уравнение прямой в отрезках, где и - длины отрезков (со знаком ), отсекаемых прямой на координатных осях и (знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнением на плоскости, находится по формуле:

.

Угол , () между прямыми и , заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:

; .

, если или .

, если или

Координаты точки пересечения прямых и находятся как решение системы линейных уравнений: или .

Тема 10. Множества. Числовые множества. Функции.

Под множеством понимают некоторую совокупность объектов любой природы, различимых между собой и мыслимую как единое целое. Объекты, составляющие множество называют его элементами. Множество может быть бесконечным (состоит из бесконечного числа элементов), конечным (состоит из конечного числа элементов), пустым (не содержит ни одного элемента). Множества обозначают: , а их элементы: . Пустое множество обозначают .

Множество называют подмножеством множества , если все элементы множества принадлежат множеству и пишут .

Множества и называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов и пишут . Два множества и будут равны тогда и только тогда, когда и .

Множество называют универсальным (в рамках данной математической теории), если его элементами являются все объекты, рассматриваемые в данной теории.

Множество можно задать: 1) перечислением всех его элементов, например: (только для конечных множеств); 2) заданием правила определения принадлежности элемента универсального множества , данному множеству : .

Объединением множеств и называется множество

.

Пересечением множеств и называется множество

.

Разностью множеств и называется множество

.

Дополнением множества (до универсального множества ) называется множество .

Два множества и называются эквивалентными и пишут ~ , если между элементами этих множеств может быть установлено взаимно однозначное соответствие. Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел : ~ . Пустое множество по определению относится к счётным.

Действительным (вещественным) числом называется бесконечная десятичная дробь, взятая со знаком «+» или «». Действительные числа отождествляют с точками числовой прямой.

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа называется неотрицательное число:

Множество называется числовым, если его элементами являются действительные числа. Числовыми промежутками называются множества

чисел: , , , , , , , , .

Множество всех точек на числовой прямой, удовлетворяющих условию , где - сколь угодно малое число, называется - окрестностью (или просто окрестностью) точки и обозначается . Множество всех точек условием , где - сколь угодно большое число, называется - окрестностью (или просто окрестностью) бесконечности и обозначается .

Величина, сохраняющая одно и тоже числовое значение, называется постоянной. Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной. Функцией называется правило, по которому каждому числу ставится в соответствие одно вполне определённое число , и пишут . Множество называется областью определения функции, - множеством ( или областью ) значений функции, - аргументом, - значением функции. Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определения функции называется множество значений аргумента , для которого данная формула имеет смысл. Графиком функции , в прямоугольной системе координат , называется множество всех точек плоскости с координатами , .

Функция называется чётной на множестве , симметричном относительно точки , если для всех выполняется условие: и нечётной, если выполняется условие . В противном случае - функция общего вида или ни чётная, ни нечётная.

Функция называется периодической на множестве , если существует число (период функции), такое, что для всех выполняется условие: . Наименьшее число называется основным периодом.

Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве , если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции .

Функция называется ограниченной на множестве , если существует число , такое, что для всех выполняется условие: . В противном случае функция - неограниченная.

Обратной к функции , , называется такая функция , которая определена на множестве и каждому ставит в соответствие такое , что . Для нахождения функции , обратной к функции , нужно решить уравнение относительно . Если функция , является строго монотонной на , то она всегда имеет обратную, при этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Функция , представляемая в виде , где , - некоторые функции такие, что область определения функции содержит всё множество значений функции , называется сложной функцией независимого аргумента . Переменную называют при этом промежуточным аргументом. Сложную функцию называют также композицией функций и , и пишут: .

Основными элементарными функциями считаются: степенная функция , показательная функция (, ), логарифмическая функция (, ), тригонометрические функции , , , , обратные тригонометрические функции , , , . Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их арифметических операций и композиций.

Графиком функции является парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены вверх, если или вниз, если .

В некоторых случаях при построении графика функции целесообразно разбить её область определения на несколько непересекающихся промежутков и последовательно строить график на каждом из них.

Всякий упорядоченный набор из действительных чисел называется точкой -мерного арифметического (координатного) пространства и обозначается или , при этом числа называются её координатами.

Пусть и - некоторые множества точек и . Если каждой точке ставится в соответствие по некоторому правилу одно вполне определённое действительное число , то говорят, что на множестве задана числовая функция от переменных и пишут или кратко и , при этом называется областью определения, - множеством значений, - аргументами (независимыми переменными) функции.

Функцию двух переменных часто обозначают , функцию трёх переменных - . Область определения функции представляет собой некоторое множество точек плоскости, функции - некоторое множество точек пространства.

Тема 7. Числовые последовательности и ряды. Предел последовательности. Предел функции и непрерывность.

Если каждому натуральному числу по некоторому правилу поставлено в соответствие одно вполне определённое действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность . Кратко обозначают . Число называется общим членом последовательности. Последовательность называют также функцией натурального аргумента. Последовательность всегда содержит бесконечно много элементов, среди которых могут быть равные.

Число называется пределом последовательности , и пишут , если для любого числа найдётся номер такой, что при всех выполняется неравенство .

Последовательность , имеющая конечный предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Последовательность называется: 1) убывающей, если ; 2) возрастающей, если ; 3) неубывающей, если ; 4) невозрастающей, если . Все вышеперечисленные последовательности называются монотонными.

Последовательность называется ограниченной, если существует число такое, что для всех выполняется условие: . В противном случае последовательность - неограниченная.

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел (теорема Вейерштрасса).

Последовательность называется бесконечно малой, если . Последовательность называется бесконечно большой (сходящейся к бесконечности), если .

Числом называется предел последовательности , где

Постоянную называют неперовым числом. Логарифм числа по основанию называется натуральным логарифмом числа и обозначается .

Выражение вида , где - последовательность чисел, называется числовым рядом и обозначатся . Сумма первых членов ряда называется -ой частичной суммой ряда.

Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел и расходящимся, если предел не существует. Число называется суммой сходящегося ряда, при этом пишут .

Если ряд сходится, то (необходимый признак сходимости ряда ). Обратное утверждение неверно.

Если , то ряд расходится (достаточный признак расходимости ряда).

Обобщённым гармоническим рядом называют ряд , который сходится при и расходится при .

Геометрическим рядом называют ряд , который сходится при , при этом его сумма равна и расходится при .

Число называется пределом функции при (или в точке ), и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Число называется пределом функции при , и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Рассматривают также односторонние пределы функций: ,

, , , где стремится к , , или только с левой стороны или только с правой стороны.

Основные утверждения, используемые для вычисления пределов функций при (в дальнейшем - или число или символ ):

1) Если - постоянная величина, то .

2) Если существуют конечные пределы , , то:

а) ; б) ;

в) ; г) , если .

При вычислении пределов постоянно пользуются и тем, что для любой основной элементарной функции и точки из её области определения справедливо соотношение .

Функция называется бесконечно большой при , если . Функция называется бесконечно малой при , если .

Основные утверждения для бесконечно больших функций, используемые для вычисления пределов при :

1) Если , то , если , то

2) Если и , то .

3) Если и , то .

4) Если и , то .

5) Если и , то .

6) Если и , то .

Если непосредственное применение свойств конечных пределов и бесконечно больших функций приводит к неопределённым выражениям, символически обозначаемым: , то для вычисления предела – «раскрытия неопределённости» - преобразовывают выражение так, чтобы получить возможность его вычислить.

Первым замечательным пределом называется предел: . Его следствиями являются пределы: , ,

Вторым замечательным пределом называются пределы:

,

где -основание натуральных логарифмов (число Непера). Он используется для вычисления предела степенно-показательной функции , где и .

Если функция определена всюду в некоторой окрестности точки (левой полуокрестности, правой полуокрестности) и (, ), то функция называется непрерывной в точке (непрерывной слева, непрерывной справа).

Каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой внутренней точке своей области определения.

Если в точке , то называется точкой разрыва функции . При этом различают следующие случаи:

1) Если , то называется точкой устранимого разрыва функции .