Решение задачи. Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на 10 конечных объемов длиной h=0.01м

Разобьем длину стержня сечениями перпендикулярными оси x на 10 конечных объемов длиной h=0.01м. Соответствующая тепловая схема приведена на рис.2.1. В центре каждого объема поместим по одному узлу, при этом номер узла совпадает с номером объема. Пронумеруем узлы тепловой схемы так, как показано на рис.6. от узла 1 (на левом торце стержня) до узла 10 (на правом торце стержня).

а)

б)

Рисунок 6. Стержень, теплоизолированный с боковой поверхности (а) и его тепловая схема (б)

Составим матрицу инциденции A, которая в рассматриваемом примере имеет размерность 10*11:

Матрица проводимостей G имеет размерность 11*11, является диагональной:

Матрица теплоемкостей C имеет размерность 10*10, является диагональной и ее диагональные элементы равны:

,

где A – площадь сечения стержня, м²;

ρ – плотность стали, кг/м³;

с – теплоемкость стали;

h – расстояние между границами объема, м.

Строим матрицу C:

Вектор-столбец Ta известных температур среды равен:

Матрично-топологическое уравнение тепловой схемы относительно вектора неизвестных температур в узлах схемы имеет вид:

Уравнение (6) является матричным дифференциальным уравнением в обыкновенных производных и описывает нестационарные температуры в узлах тепловой схемы.

Примем начальные температуры в узлах равными 0 ⁰С, т.е.

Рассмотрим решение нестационарного матричного уравнения

где H(t) – положительно определенная матрица для всех t ≥ 0 и равна ;

с начальным условием

T(0)=T₀,

Для решения нестационарного матричного уравнения (2.7) с начальным условием (2.8) используем явный метод Эйлера. Явный метод Эйлера приводит к итерационной процедуре:

где m – номер итерации;

τ – шаг по времени;

E – диагональная единичная матрица;

Диагональная единичная матрица E, имеющая размерность 10*10 равна

В явном методе Эйлера значение вектора-столбца температуры T_m в следующий момент времени t_m находится пересчетом по формуле (9) на основании известного значения температуры T_m-1 в предыдущий момент времени t_m-1.

Зададим дополнительные условия для решения задачи:

1) шаг по времени τ = 2;

2) максимальное время M = 100 с.;

3) условие m…M;

Подставив все известные величины в уравнение (9), найдем температуры в узлах через 1с., 40с., и 100 с.:

.

Рисунок 7. График зависимости температуры от безразмерной координаты в моменты времени через 1, 40 и 100 с.

Список использованной литературы

1. Баширов Н.Г. Моделирование теплообмена в теплоэнергетической системе на основе Mathcad: учебное пособие / Н.Г. Баширов. – Вологда: ВоГТУ, 2008. -90 с.

2. Швыдкий, В.С. Элементы теории систем и численные методы моделирования процессов тепломассопереноса: учебник для вузов / В.С Швыдкий. – СПб: Питер, 2000. -592 с.