Задачи для решения. 2.1. При каком условии для двух ненулевых векторов и будет иметь место равенство: а) ; б) ; в) .

2.1. При каком условии для двух ненулевых векторов и будет иметь место равенство: а) ; б) ; в) .

2.2. Найти , если А(3; 2; -1), В(-1; 1; 2), С(5; 3; -3).

2.3. Вычислить , если = (3; 1; 2), = (-2; -1; 3).

2.4. Вычислить угол между векторами и , если = (2; 2; 3),
= (-3; 1; -1).

2.5. Найти , если = (5; 3; -1), = (1; 1; 2).

2.6. При каком значении " " векторы и взаимно перпендикулярны?

2.7. Найти работу силы = (2; 5; -3) по перемещению материальной точки из положения А(3; -1; 2) в положение В(2; 2; -3).

2.8. Даны координаты вершин DАВС. Вычислить: а) углы треугольника, б) , если

1) А(-3; 4; 1), В(0; 4; -2), С(1; 2; 2);

2) А(-1; -4; 2), В(3; 5; -1), С(2; 2; 4);

3) А(5; 1; -1), В(2; 2; 2), С(3; 0; -1);

4) А(2; 0; 1), В(1; -1; 3), С(0; 1; 2);

5) А(-3; 1; 2), В(1; 0; -1), С(2; 2; -3).

2.9. Даны 3 силы: = (2; 5; -1); = (1; -1; 2); = (3; -2; 3). Вычислить работу равнодействующей этих сил по перемещению материальной точки из начала координат в точку А(2; -3; 4).

2.10. Даны вершины 3-угольника: А(2; -1; 4), В(-2; 5; 2) и С(4; 3; -4). Найти угол между его медианами, проведёнными из вершин А и В.

2.11. Даны вершины треугольника АВС: А(1; 1; -2), В(3; -3; 4) и С(2; 0; 3). Найти угол между медианой CD и стороной АВ.

2.12. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и = (0; -1; 1).

2.13. Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами = (1; 2; -1) и
= (2; 0; -4) треугольника АВС, найти внешний угол при вершине С.

2.14. Даны вершины 4-угольника: А(1; 2; 3), В(7; 3; 2), С(-3; 0; 6), D(9; 2; 4). Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

2.15. Даны последовательные вершины 4-угольника: А(3; a; -1), В(2; 1; a),
С(2a; -3; 0), D(1; 3; -1). При каком a его диагонали взаимно перпендикулярны?

2.16. Доказать, что 4-угольник с вершинами А(-3; 5; 6), В(1; -5; 7),
С(8; -3; -1) и D(4; 7; -2) – квадрат.

2.17. Найти , если = ; ;
= (1; 1; 3).

2.18. Даны точки А(-2; 2; 3) В(-1; -3; 3). Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями Oy и Oz углы b = 120°, g = 45°, а с осью Ox – тупой угол.

2.19. Найти проекцию вектора (2; 3; 4) на ось, образующую с координатными осями равные углы.

2.20. Под каким углом должна действовать на материальную точку постоянная сила = (3; 5; 4), чтобы переместить её прямолинейно из положения А(1; 2; 3) в положение В(3; 1; 5)?

2.21. Сила = (2; -1; 3) перемещает материальную точку из А(1; -2; 3) до некоторой точки В, лежащей на оси Oz. Найти координаты точки В, если известно, что работа, выполненная силой по перемещению точки, равна 5 ед.

2.22. Найти единичный вектор , перпендикулярный вектору (3; 6; 8) и к оси Ox.

2.23. В плоскости YOZ найти вектор , перпендикулярный вектору , длина которого равна .

2.24. В плоскости YOZ найти вектор , перпендикулярный вектору
(12; -3; 4) и имеющий одинаковую с ним длину.

2.25. Вектор , перпендикулярный к векторам (3; 2; 2) и (18; -22; -5), образует с осью Oy тупой угол. Найти его координаты, зная, что = 14.

2.26. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам (2; 3; -1) и (1; -2; 3) и удовлетворяет условию: .

2.27. Найти вектор , перпендикулярный векторам и , если , где = (4; -4; 2).

2.28. Даны два вектора: (1; 1; 1) и (1; 0; 0). Найти единичный вектор , перпендикулярный вектору и образующий с вектором угол в 60°.

2.29. Найти вектор , коллинеарный вектору (2; 3; 4), если , где = .

2.30. Вектор , перпендикулярный к оси Oz и вектору (8; -15; 3), образует острый угол с осью Ox. Найти его координаты, если = 51.

2.31. Даны векторы (m; 2; -3) и (-8; 0; 6). При каком значении " m" ?

2.32. Найти вектор , коллинеарный вектору (3; 2; -1), если = 4.

2.33. Даны два вектора: и . Найти вектор , если ; = 9; = 4.

2.34. Вычислить угол между векторами = и = , если = 1; = ; .

2.35. Найти угол между единичными векторами и , если известно, что векторы = и = взаимно перпендикулярны.

2.36. Вычислить , если = , = ; = 2; = 3; .

2.37. Вычислить длину диагоналей параллелограмма построенного на векторах = , = , если = ; = 1; .

2.38. Зная, что = 3; = 2; , определить, при каком значении коэффициента a векторы и окажутся перпендикулярными?

2.39. Вычислить:

а) , если = ; = 2; ;

б) , если = 1; = ; ;

в) , если = 2; = ; ;

г) , если = 1; = 1; ;

д) , если = 2; = 1; .

2.40. При каком вектор = будет единичным, если = 3; = ; .

2.41. Найти модуль вектора , если = 4; = 2; = 6; .

2.42. В треугольнике АВС найти , если , , где = ; = 1; .

2.43. К одной и той же точке приложены две силы и . Найти величину равнодействующей силы , если = 7; = 4; = 120°.

2.44. При каком значении коэффициента a векторы и взаимно перпендикулярны, если = 2; = ; .

2.45. Векторы = и = служат сторонами параллелограмма. Найти косинус угла между диагональю ВС и стороной АС, если = ; = ; .

2.46. Вычислить косинус угла a между векторами и , если = ; = 1; .

2.47. В DАВС найти косинус внутреннего угла В, если ; ; = ; = 1; .

2.48. При каком положительном значении параметра векторы и имеют одинаковую длину, если = ; = и .

2.49. Найти , если ; , где = 4; = 2; .

2.50. Дано: = = 1, . При каком значении параметра a вектор перпендикулярен вектору ?