Главная страница Случайная страница Разделы сайта АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Властивості границь
Теорема. Нехай функції f (x) і g (x) мають границі в точці х0: f(x)=А g(x)=B Тоді функції f (x) g (x), f (x) ·g (x), (при В 0) також мають границі в точці x0, причому: 1) [ f(x)±g(x) ] =А±B; 2) [ f(x)·g(x) ] =А·B; 3) . Доведення. Нехай { xn }Ì X, xn = x0 (x Î N) – довільна послідовність, збіжна до x0. За визначенням 1, збіжними є послідовності { f (xn)}, { g (xn)}, причому їхні границі – відповідно А і В. Але тоді за теоремою 2 (глава 5, §2) послідовності { f(x)±g(x) }, { f(x)·g(x) }, (при В 0) мають границі, що дорівнюють відповідно А±B, А·B, . Згідно з визначенням 1 [ f(x)±g(x) ] =А±B; [ f(x)·g(x) ] =А·B; . Наслідок 1. Для довільного числа С [ С f (x)]=C f (x). Наслідок 1. Для довільного m Î N [ f (x)]m=[ f (x)]m Отже, якщо говорити про границю функції від довільної змінної, то, оскільки, для змінних залежних від номера (показника) п теореми доведені, вони вірні і для функції в загальному випадку. Зауважимо, що приведені властивості повністю зберігаються у випадку односторонніх границь і границь функції на нескінченності.
|