Паралельність та перпендикулярність прямих і площин

В історії розвитку шкільного курсу математики і методики його навчання до цього часу дискутується питання про послідовність вивчен­ня тем «Паралельність прямих і площин» і «Перпендикулярність пря­мих і площин». У перших виданнях підручника з геометрії А. П. Ки-сельова першою вивчалась тема «Перпендикулярність прямих і пло­щин». Такий порядок прийнято і в навчальному посібнику О. Д. Алек-сандрова та ін. Перевага такої послідовності вивчення цих тем поля­гає в тому, що відразу можна розв'язувати різноманітні задачі на об­числення, застосовувати під час доведення теорем ознаки рівності трикутників, властивості рівнобедрених трикутників. Недоліком такої послідовності є те, що рисунки в цьому розділі зображують фігури, зокрема кути, у спотвореному вигляді, а тому потребують від учнів добре розвиненого просторового уявлення. Тому в наступних видан­нях підручника А. П. Кисельова та в інших підручниках, за якими працювали школи останніми десятиріччями і працюють нині, тему «Паралельність прямих і площин» подано першою. Такий порядок має переваги насамперед тому, що рисунки просторових фігур сприй­маються учнями легше, оскільки на них зберігається паралельність прямих і пропорційність паралельних відрізків. Тут більше можливо­стей використати паралельне перенесення, вивчені аксіоми, встанови­ти зв'язки з кресленням, досить рано ознайомити учнів зі способом зображення просторових фігур на площині. Слабким місцем такого порядку вивчення тем є збіднена система задач, особливо змістових задач на обчислення.

Відомості про прямі та площини є основоположними в курсі сте­реометрії, тому важливо забезпечити стійкі й усвідомлені знання цьо­го матеріалу. В такому разі потрібно зважати на труднощі, які вини­кають в учнів з переходом від планіметрії до тривимірного простору і пов'язані з недостатнім розвитком просторових уявлень і уяви, з на­явністю аналогій і відмінностей в означеннях і теоремах, пов'язаних з паралельністю й перпендикулярністю прямих на площині та прямих і площин - у просторі.

Паралельність прямих і площин у просторі. Розпочинаючи ви­вчення теми, доцільно відокремити для учнів чотири блоки в змісті навчального матеріалу.

1. Паралельність прямих у просторі; мимобіжні прямі.

2. Паралельність прямої та площини.

3. Паралельність площин у просторі.

4. Паралельне проектування як спосіб зображення просторових фігур на площині.

Вивчення першого блоку навчального матеріалу природно почати з розгляду можливих положень двох прямих а і Ь на площині та в прос­торі. Учні пригадають, що в планіметрії, тобто на площині, можливі лише два положення прямих а і Ь: 1) прямі а і Ь перетинаються; 2) пря­мі а і Ь паралельні.

Потрібно пригадати означення паралельних прямих у планіметрії та зазначити, що воно містить лише одну істотну властивість - «не перетинаються». Далі, використовуючи стереометричний ящик, мо­дель куба або прямокутного паралелепіпеда, з'ясовують можливі поло­ження двох прямих а і Ь в просторі. Учні самі доходять висновку, що таких можливих положень три: 1) прямі а і Ь перетинаються; 2) прямі а і Ь лежать в одній площині і не перетинаються; 3) прямі а і Ь не лежать в одній площині і не перетинаються.

Як і в планіметрії, дві прямі в просторі вважають такими, що пе­ретинаються, якщо вони мають лише одну спільну точку. Після цього вводять означення паралельних і мимобіжних прямих у просторі. Важливо наголосити, що означення двох паралельних прямих у прос­торі містить дві істотні властивості: 1) лежати в одній площині; 2) не перетинатися.

Кожна з цих властивостей необхідна і лише обидві разом достатні для того, щоб дві прямі в просторі вважались паралельними.

Учні мають добре усвідомлювати означення й ознаку паралельних прямих, розуміти відмінності між цими двома твердженнями, доводи­ти ознаку (теорема 16.2 за підручником [290]). Дехто з учнів не роз­різняють ознаки паралельних прямих на площині та в просторі. Тому слід наголосити, що хоча формулюються ці теореми однаково, проте, по суті, в теоремі 16.2 йдеться про три прямі, які не обов'язково ле­жать в одній площині. Так само деякі учні не усвідомлюють принци­пової різниці між аксіомою паралельних прямих у планіметрії та тео­ремою 16.1, яка стверджує можливість проведення через точку поза заданою прямою лише однієї прямої, паралельної заданій.

Доведення ознаки паралельності прямих у просторі досить громізд­ке. Тому важливо із самого початку доведення зробити цільову уста­новку: якщо кожна з прямих біс паралельна прямій а і потрібно довести, що Ь\\с, то для доведення слід скористатися означенням па­ралельних прямих у просторі, оскільки жодна ознака ще не відома. Отже, потрібно довести два факти: 1) прямі Ь і с лежать в одній пло­щині; 2) прямі Ь і с не перетинаються.

Далі міркування за підручником спрямовані на досягнення цієї мети.

Вивчення другого змістового блоку теми «Паралельність прямих і площин» не зумовлює в учнів особливих труднощів. Пояснення ново­го матеріалу доцільно почати із з'ясування (на основі моделей прямої та площини) можливих випадків взаємного розміщення прямої та площини у просторі. Учні колективно доходять висновку, що пряма а може лежати в площині а і не лежати в ній. У другому випадку також можливі два варіанти: пряма а і площина а не перетинаються; пряма а і площина а перетинаються в одній точці.

Після цього природно вводиться означення паралельних прямої та площини. Слід звернути увагу учнів на те, що означення аналогічне означенню паралельних прямих у планіметрії. Це сприятиме закріп­ленню в пам'яті нового означення.

Під час доведення ознаки паралельності прямої та площини доціль­но відразу сформулювати мету доведення - потрібно довести, що пря­ма а, яка не належить площині а і паралельна прямій а, цієї площини, не може перетнути площину а. Учні вже із 7 класу мають знати, що неможливість чого-небудь доводиться методом від супротивного. Після виконання додаткової побудови (проведення площини а через парале­льні прямі а і Я() учні спроможні самостійно здійснити міркування методом від супротивного, виконавши три кроки: 1) припустимо, що а перетинає а; 2) тоді точка перетину мала б належати прямій а^. Проте це суперечить умові теореми, оскільки а\\а_х; 3) припущення неправильне, а справедливе те, що пряма не перетинає площину а, тобто за означенням паралельна площині а.

Паралельність площин вивчається за тією самою методичною схе­мою: після розгляду на моделях можливих положень двох площин у просторі формулюється означення паралельних площин. Учні без особливих труднощів з'ясовують два можливі положення і за анало­гією з попередніми означеннями паралельності прямої та площини самі формулюють означення паралельних площин.

Далі виникає потреба сформулювати теорему, яка стверджує озна­ку паралельності двох площин. Шкільна практика доводить, що деякі учні намагаються сформулювати цю ознаку за аналогією з ознакою паралельності прямих у планіметрії. Така спроба розглянути ситуацію перетину двох площин третьою приводить до потреби використовува­ти двогранні кути між площинами. Однак такі кути ще не розгляда­лись. Учитель сам має сформулювати ознаку паралельності двох пло­щин і звернути увагу учнів на те, що за умовою теореми потрібно до­вести неможливість перетину заданих площин, тобто підвести їх до означення паралельних площин. Учні самі виберуть метод доведення від супротивного і зроблять перший крок припущення, що площини перетинаються. Проте відповідний рисунок учням зробити важко, по­трібна допомога вчителя. Подальші міркування, що випливають з припущення, учні можуть знайти колективно.

Твердження про існування площини, паралельної заданій площині (теорема 16.5), нагадує учням аксіому паралельних прямих у плані­метрії. Доведення цієї теореми доцільно дати учням лише як ознайо­млення і не вимагати від усіх уміння відтворювати це доведення. Водночас твердження про властивість паралельних площин, перетну­тих третьою площиною, і задача 33, з якої випливає твердження про рівність відрізків паралельних прямих, які містяться між двома пара­лельними площинами, хоч і не занесені в підручнику [290] до рубри­ки теорем, заслуговують уважного вивчення. Ці твердження застосо­вують до розв'язування задач.

Спираючись на аналогії деяких означень і властивостей, пов'язаних з відношенням паралельності в планіметрії та стереометрії, потрібно уник­нути помилок учнів, пов'язаних із неправомірним перенесенням за ана­логією відповідних властивостей. Наприклад, дехто з учнів вважає, що для прямих а, Ь і площин а і 3 виконуються відношення:

Перпендикулярність прямих і площин у просторі. Зміст навчаль­ного матеріалу цієї теми можна умовно розділити на три блоки.

1. Перпендикулярність прямих у просторі.

2. Перпендикулярність прямої та площини.

3. Перпендикулярність площин.

Методична схема вивчення кожного блоку така сама, що і в попе­редній темі. Спочатку вводять означення перпендикулярності відповід­них об'єктів, потім формулюють і доводять ознаку їх перпендикуляр­ності. Для прямої та площини розглядають задачу на побудову пер­пендикулярних прямої та площини, доводять єдиність такої площини і властивість перпендикулярної прямої та площини. Особливе місце і значення в цій темі належать навчальному матеріалу стосовно перпен­дикуляра та похилої до площини, а також теореми про три перпенди­куляри. Остання застосовується під час розв'язування задач, пов'я­заних з багатогранниками і тілами обертання. Схемою доведення цієї теореми часто послуговуються в задачах.

Тому важливо домогтися того, щоб усі учні вміли доводити теоре­му про три перпендикуляри.

У зв'язку з вивченням перпендикулярності прямих у просторі пот­рібно повторити відповідний матеріал з планіметрії та стереометрії. У навчальній і методичній літературі відомі два види означень перпен­дикулярних прямих у просторі:

1) дві прямі називають перпендикулярними, якщо вони перетина­ються під прямим кутом [290];

2) дві прямі називають взаємно перпендикулярними, якщо кути між ними дорівнюють 90° [147].

Друге означення охоплює також прямі, які не перетинаються, зок­рема мимобіжні. Відповідно до цього прийнято два види означень перпендикулярних прямої та площини:

1) пряму, що перетинає площину, називають перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить у цій площині і проходить через точку перетину;

2) пряму і площину називають перпендикулярними, якщо пряма перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині [146].

Перевага першого означення для прямої та площини полягає в то­му, що наведення умови їх перетину в означенні позбавляє потреби спеціально доводити цей факт. Друге означення можна ввести в кла­сах з поглибленим вивченням математики, доповнивши його умовою перетину прямої та площини (умова проходження прямої площини через точку перетину прямої та площини тут не розглядається). Таке означення полегшить доведення деяких теорем і розв'язування задач, зокрема теореми про три перпендикуляри.

Щодо означення перпендикулярних площин, то в учнів, за анало­гією з означенням перпендикулярних прямих, виникає бажання озна­чити їх як такі, що перетинаються під прямим кутом. Однак відразу виникає проблема: що розуміти під кутом між площинами? Цю проб­лему розв'язують по-різному. У підручнику О. В. Погорєлова [290] дві площини, що перетинаються, названо перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямих перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. У посібнику Л. С. Атанасяна та ін. [78] спочатку введено означення двогранного кута, а потім на цій основі подано означення перпендикулярних площин. У посібнику О. Д. Александрова та ін. означення двох перпендику­лярних площин введено на основі поняття перпендикулярності прямої та площини: дві площини називають взаємно перпендикулярними, якщо в кожній з них через будь-яку точку проходить пряма, перпен­дикулярна до другої площини.

Теореми, що стверджують ознаки перпендикулярності в просторі двох прямих, прямої та площини, двох площин, можна доводити різ­ними способами. Здебільшого доведення виконують, розглядаючи па­ралелограми і ланцюжок рівних трикутників. Водночас, наприклад, ознаку перпендикулярності прямої та площини, теорему про два пер­пендикуляри і теорему про три перпендикуляри можна було 6 довес­ти векторним методом.

Ознака перпендикулярності двох прямих у просторі, яку сформу­льовано в підручнику О. В. Погорєлова [290], практично не викорис­товується в системі задач, а доведення її хоча й не складне, проте все-таки громіздке. Тому недоцільно приділяти багато уваги умінню від­творювати учнями це доведення.

Що стосується теореми про три перпендикуляри, то в традиційних підручниках геометрії розглядались дві окремі взаємно обернені тео­реми і під час розв'язування задач робилось посилання на одну з них. У підручнику О. В. Погорєлова пропонується одна теорема про три перпендикуляри, формулювання якої містить пряме й обернене твер­дження. Тому і в доведенні теореми потрібно відокремити дві части­ни, в яких доводяться достатність і необхідність. Однак передусім, ви­користовуючи рисунок, доцільно символічно записати умову і висновок до кожної частини доведення (рис. 14.4). У цьому разі зручно кольоро­вою крейдою навести на рисунку кожний із трьох перпендикулярів, про який ідеться в теоремі. Запис доведення можна оформити так.

глибшого усвідомлення всіма учнями кроків доведення доцільно оформити його у вигляді таблиці (табл. 14.2).

Таблиця 14.2. Доведення теореми про три перпендикуляри (достатність умови)

Під час введення означень, доведень теорем і розв'язування задач на тему «Перпендикулярність прямих і площин» потрібно широко ви­користовувати наочність, зокрема стереометричний ящик, моделі ба­гатогранників.

Зображення просторових фігур на площині. Види паралельної проекції. Рисунки просторових фігур є одним із важливих засобів навчання, спрямованим на реалізацію дидактичного принципу наоч­ності. Наочність сприяє утворенню чітких і точних образів у процесі сприймання й уявлення, полегшує учням перехід від конкретних об'єк­тів до абстрактних понять за допомогою відокремлення і словесного вираження загальних істотних властивостей фігур, допомагає встанов­ленню зв'язків між елементами фігур та іншими фігурами під час роз­в'язування задач.

Якщо планіметричний рисунок здебільшого відповідає реальній фігурі, без спотворення відображає її властивості та виконується від­повідно до умови задачі або теореми, то на рисунку просторової фі­гури спотворюються довжини відрізків і величини кутів, він має певні графічні умовності. Правильно і наочно виконаний рисунок просто­рової фігури сприяє розумовій діяльності учнів, а неправильне і не-наочне зображення, навпаки, гальмує розумову діяльність і часто стає однією з причин невміння правильно розв'язати задачу.

Позитивний вплив наочності визначається цілою низкою умов, найважливіша з яких - правильне поєднання слів учителя і наочнос­ті, спеціальне навчання учнів «читанню рисунка», уміння виконувати його. Досвід доводить, що формування в учнів умінь виконувати зо­браження просторових фігур на площині відбувається ефективніше, якщо поступово і систематично надавати їм правила-орієнтири вико­нання цих зображень. Такі правила стають для учнів основою вико­нання стереометричного рисунка. Перші правила-орієнтири доцільно ввести під час вивчення п. 142 підручника [290].

Вони будуть підготовкою до вивчення і зображення вії класі ба­гатогранників.

При цьому потрібно мати на увазі, що зображення просторових фігур у геометрії відрізняються від креслень, виконаних за правилами нарис-ної геометрії, зокрема аксонометрії. Виконання таких креслень пов'язане з вибором і врахуванням напрямків аксонометричних осей, масштабу, потребує великої кількості додаткових побудов, а отже, і навчального часу, відволікає увагу від засвоєння геометричного матеріалу. Тому під час вивчення зображень просторових фігур на площині в шкіль­ній геометрії допускаються певні графічні умовності. Водночас такі зображення мають відповідати вимогам, сформульованим ще в 40-х роках XX ст. М. Ф. Четверухіним. Назвемо три основні з них.

1. Зображення має бути правильним, тобто однією з паралельних про­екцій оригіналу. Звідси випливає, що під час виконання стереометричного рисунка потрібно ґрунтуватися на властивості паралельної проекції.

2. Зображення має бути наочним, тобто давати просторове уявлення оригіналу. Справді, куб можна зобразити у вигляді квадрата, пірамі­ду-у вигляді трикутника, круг - у вигляді відрізка. Хоча такі зо­браження і правильні, проте вони не наочні. Тому слід рекомендувати учням зображувати призми і піраміди так, щоб було видно найбільшу кількість їхніх граней, щоб зображення ребер не збігалися. Кулю зо­бражують так, щоб її перерізи площинами мали вигляд еліпсів, відповід­но еліпсами мають зображуватися основи циліндрів і коїгусів.

3. Зображення має бути простим для виконання, тобто не потребу­вати побудов, що безпосередньо не стосуються розв'язування задачі або доведення теореми.

Потрібно орієнтувати учнів на те, що починати виконання рисун­ків призм і циліндрів зручніше з верхньої основи, оскільки в зобра­женні верхньої основи видно всі лінії, а проводити ребра або твірні вниз зручніше, ніж угору.

Рисунок доцільно виконувати на лівій частині сторінки зошита, передбачивши для нього не менш як чверть сторінки. Найтовщими зображують основні видимі лінії, невидимі виконують штриховими лініями завтовшки - основних, допоміжні лши - суцільними тон­кими або штриховими.

Виконуючи зображення просторових фігур на площині, викорис­товують два види паралельної проекції: 1) косокутну - проектуваль­ні прямі нахилені під довільним кутом до площини зображень; 2) пря­мокутну (ортогональну) - проектувальні промені перпендикулярні до площини зображень. В. М. Брадіс [52] пропонував у школі засто­совувати прямокутну проекцію і довільну косокутну проекцію, зокре­ма її окремий вид - кабінетну проекцію. Косокутну проекцію нази­вають кабінетною, якщо проектувальні промені обрано так, що проек­ція відрізка, перпендикулярного до горизонтальної прямої, спотворю­ється за довжиною вдвоє і утворює з горизонтальною прямою кут 45° або 135°. У кабінетній проекції просто і наочно зображуються багато­гранники, які в основі мають квадрат, прямокутник, правильний три­кутник, шестикутник.

Тіла обертання найбільш наочно зображуються в ортогональній проекції. У кожному окремому випадку потрібно вибирати той вид паралельного проектування, за якого досягаються найвища наочність і простота виконання рисунка.

Розглянемо иравила-орієнтири виконання зображень багатокутни­ків, зокрема правильних, і кола.

У задачах, в яких ідеться про довільний чотирикутник (напри­клад, в основі багатогранника), за його зображення можна взяти будь-який чотирикутник зі зручним для зображення багатогранника розміщенням вершин.

Зображенням трапеції також є трапеція, причому з певним відно­шенням основ, якщо це відношення задане.

Діагоналі правильного шестикутника (рис. 14.8) ділять його на шість правильних трикутників. Кожна пара трикутників утворює ромб. Правильний шестикутник має три пари попарно паралельних сторін. Є кілька способів побудови зображення правильного шестикут­ника. Розглянемо два із них.

Зображення в ортогональній проекції. Коло в ортогональній про­екції має вигляд симетричного відносно горизонтального діаметра еліпса (рис. 14.13).

Тому тіла обертання, як правило, виконують в ортогональній проек­ції. Тоді в цій самій проекції потрібно зображувати і багатогранники, що комбінуються з тілами обертання. Якщо при цьому основами багатогран­ників є правильні багатокутники, вписані в коло чи описані навколо ньо­го, то доцільно використати правила-орієнтири зображення їх.

Щоб виконати рисунок оригіналів квадратів, вписаного в коло й описаного навколо нього, досить провести в колі два взаємно перпен­дикулярні діаметри, сполучити їхні кінці (для вписаного квадрата) і провести дотичні до кола в кінцях діаметрів (для описаного квадрата, рис. 14.14).

Таким чином, побудова в ортогональній проекції зображень вписа­ного й описаного квадратів зводиться до побудови зображень двох взаємно перпендикулярних діаметрів. Якщо за перший обрати гори­зонтальний діаметр, то перпендикулярний до нього діаметр в ортого­нальній проекції зобразиться також перпендикулярним відрізком мен­шої довжини. Хоча таке зображення і буде правильним, проте воно незручне, оскільки зображення ребер у призмах і пірамідах, вписаних у тіла обертання або описаних навколо них, збігаються.

Тому для побудови зображень двох взаємно перпендикулярних діа­метрів за перший діаметр АВ зручно обрати той, який розміщений приблизно під кутом 10° до горизонтального діаметра. Для побудови зображення діаметра, перпендикулярного до першого, досить скорис­татися властивістю хорд, паралельних діаметру: вони діляться навпіл діаметром, перпендикулярним до заданого. Отже, досить провести довільну хорду, паралельну діаметру АВ (рис. 14.15), розділити її навпіл і через точку поділу та центр еліпса провести діаметр CD. Відрізок CD і є зображенням діаметра, перпендикулярного до діамет­ра АВ.

Для побудови в ортогональній проекції зображень вписаного й опи­саного квадратів досить сполучити кінці діаметрів у першому випадку і провести дотичні в кінцях діаметрів - у другому (рис. 14.16).

Для зображення в ортогональній проекції правильних вписаного й описаного трикутників скористаємося властивостями відповідних срі-гур-оригіналів (рис. 14.17). Сторона вписаного трикутника ділить ра­діус кола, що перпендикулярний до неї, навпіл, а сторони описаного трикутника є дотичними до кола у вершинах вписаного і паралельні його сторонам. Крім того, вершини описаного правильного трикутни­ка лежать на продовженні висот вписаного трикутника на відстані двох висот від відповідної вершини. Звідси маємо правило побудови зображень правильних вписаних і описаних трикутників:

1) виконуємо зображення еліпса і двох взаємно перпендикулярних діаметрів АВ і CD (рис. 14.18) способом, розглянутим вище; 2) про­водимо хорду EF через середину одного з радіусів паралельно діамет­ру АВ; 3) сполучаємо кінці хорди EF з кінцем С діаметра.

Трикутник ECF є зображенням правильного вписаного в коло трикутника в ортогональній проекції.

ранника, доцільно обрати такий із них, щоб дві грані багатогранника були видимі. Щоб зображення основи багатогранника у вигляді опи­саного трикутника було наочним, орієнтацію вписаного трикутника потрібно поміняти на 180°.

Вивчаючи багатогранники в 11 класі, учні мають використовувати запроваджені правила-орієнтири відповідних зображень.