Перестановки. Четность перестановки. Теорема о знаке перестановки.

ε ^α =(-1)^m/2 – чётность перестановки

Перестановка называется

четной, если ε ^α = 1, и нечетной, если ε ^α = —1.

Теорема о знаке перестановки

Теорема 2. Пусть π — перестановка из Sn,

π =т₁, т₂... т_k - произвольное разложение π в произведение транс-

позиций. Тогда число

ε _π = (-1)^k

называемое знаком π (иначе: сигнатурой или чет-

ностью), полностью определяется перестановкой π и

не зависит от способа разложения), т. е. четность

целого числа k для данной перестановки π всегда

одна и та же. Кроме того,

ε _{α β} = ε _α ε _β

для всех α, β €Sn

Доказательство. 1) Предположим, чтомы имеем также разложение

π = т₁`, т<sub>2</sub>`... т_k`)

причем четности k и k' различны. Это значит, что

целое число k+k' нечетно. Так как (т'_s)² = e, то, по-

следовательно умножая справа обе части равенства

т₁, т₂...тk = т'₁т'₂…т’_k на т`<sub>k</sub>, …, т`₂ т`<sub>1</sub>получим что т<sub>1</sub>т<sub>2</sub>…т<sub>k</sub>т<sub>k</sub>`…т`<sub>2</sub>т`₁=е

Мы свели нашу задачу к следующей. Пусть-

е=σ ₁σ ₂… σ _m-1σ _m (9)

-запись единичной перестановки в виде произведе-

ния m > 0 транспозиций. Нужно показать, что обя-

зательно m — четное число.

С этой целью будет установлено, что от записи

мы можем перейти к записи е в виде произведения m-2 транспозиций. Продолжив этот спуск, мы пришли бы при нечетном m к одной транспозиции т. Но, очевидно, е≠ т. Итак, нам нужно обосновать спуск в (9) от m к m-2 множителям. 2) Пусть s, 1≤ s≤ n, — любое фиксированное натуральное число, входящее в одну из транспозиций σ Для определенности считаем, что е=σ _1…σ _p-1σ _pσ _p+1…σ _m

где σ _р = (st), а σ _р+1 не содержит s. Для σ _р-1

имеются четыре возможности

а) σ _р-1 = (st). Тогда отрезок Op—iOp = (st)(st) из

записи е удаляется, и мы приходим к т — 2 транспозициям. б) σ _р-1= (sr), r≠ s, t. Здесь σ _р-1 σ _р= (sr)(st) = (st)(rt), и мы сдвинули вхождение s на одну позицию влево, не изменив m.

в) σ _р-1 = (tr), r=≠ s, t. Здесь σ _р-1 σ _р = (tr)(st) = (sr)(tr), и снова, как в случае б), произошел сдвиг s влево без изменения m.

г) σ _q-1 = (qr); {q, r}∩ {s, t} =Ǿ. Здесь σ _р-1 σ _р = (qr)(st) = (st) (qr). В случае а) наша цель достигнута. В случаях

б)—г) повторяем процесс, сдвигая вхождение s на одну позицию левее. В конечном счете мы придем либо к случаю а), либо к экстремальному случаю, когда е=σ `<sub>1</sub>σ `₂…σ `<sub>m</sub>, причем σ `₁= (st') и s не имеет вхождений в σ `<sub>2</sub>,..., σ `m. Значит, σ 'k (s) = s при k > 1 и s = e(s) = σ `(s) = t`≠ s. Полученное противоречие доказывает утверждение об инвариантности ε _π

Если а =т₁…т_kт_k+1 = т_k+1 β = т_k+1…т_k+l то α β = т₁…т_kт_k+1…т_k+l ε _α =(-1)^k ε _β =(-1)^l

ε _α ε _{β =}(-1)^k+l=(-1)^k(-1)^l= ε _α ε _β

11.Матрицы. Векторные пространства строк и столбцов.

Векторным пространством строк длины n над R называется множество Rⁿ

(его элементами являются векторы-строки или просто

векторы), рассматриваемое вместе с операциями сложения векторов и умножением их на скаляры - вещественные числа.

Свойства:

1)х+у=у+х 2)(х+у)+z=x+(y+z) 3) x+0=x 4)x+(-x)=0 5) α (β x)=(α β)x 6)1x=x

7) (α +β)x=α x+β x 8)α (x+y)=α x+α y
12.Линейные комбинации. Линейная оболочка. Теорема о пересечении линейных оболочек.

Если есть х₁х₂..х_n => L₁x₁+L₂x₂+…L_nx_n – лин комб

линейная оболочка V < Х1 Х2,.... Хn> - множество линейных комбинаций