Определение погрешностей при многократных измерениях

Выполнены многократные измерения напряжения. Получены результаты: 25, 57; 25, 69; 25, 74; 25, 61; 25, 73; 25, 59; 25, 78; 25, 66; 25, 79.

Произвести обработку результатов многократных измерений:

· исключить из ряда измерений результаты с грубыми погрешностями;

· оценить случайную составляющую погрешности;

· определить результат измерения и его суммарную

· погрешность и доверительные границы суммарной погрешности.

Решение:

В результате n=9 измерений величины x₀ получен массив результатов измерений, который на языке математической статистики называется выборкой, элементы этого массива называются выборочными значениями измеряемой величины, а их количество - объемом выборки.

Вариационный ряд образуется путем перестановки исходного массива результатов многократных измерений в порядке их возрастания. Такая перестановка получается естественным путем при нанесении результатов на числовую ось. Элементы нового массива получают новые порядковые номера, и эти новые номера заключаются в круглые скобки:

.

Получаем вариационный ряд:

Х_мах= 25, 79;

Х_мин= 25, 57.

По таблице 2 найти граничное значение β _гр по вероятности Р=0.95 и объему выборки n =9.

Таблица 3

Распределение случайных величин Груббса-Смирнова

№
	25, 57	-0, 11	0, 0121	25, 68	0, 082	0, 027
	25, 69	0, 01	0, 0001
	25, 74	0, 06	0, 0036
	25, 61	-0, 07	0, 0049
	25, 73	0, 05	0, 0025
	25, 59	-0, 09	0, 0081
	25, 78	0, 1	0, 01
	25, 66	-0, 02	0, 0004
	25, 79	0, 11	0, 0121
(xi- )2 = 0, 0538

Наиболее распространенной точечной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое значение результатов многократных измерений, то есть выборочных данных:

Рассчитаем среднеквадратическое значение рассеяния результатов многократных измерений по формуле 7:

= ; = = 0, 082 (7)

Среднеквадратическое значение случайной погрешности результатов:

= (8)

Обработка результатов многократных измерений.

Исключение из ряда измерений результатов с грубыми погрешностями.

Выделить из результатов измерения минимальное X_min=25, 57, максимальное X_max = 25, 79 значения и вычислить отношения V₁ и V₂

V₁=(X_max - )/ ; (9)

V₂=( - X_min)/ . (10)

V₁=(25, 79 -25, 68)/ 0, 082=1.34; V₂=(25, 68- 25, 57)/ 0, 082=1.34;

Значение β _гр= 2, 29. Обе величины V₁ и V₂ меньше, чем граничное значение, поэтому результатов с грубыми погрешностями нет.

Оценка доверительного интервала для истинного значения измеряемой

величины при доверительной вероятности P=0, 95

Доверительный интервал - интервал, который накрывает действительное значение оцениваемой величины с заданной вероятностью P.

Из расчетов, проведенных выше, известно:

· среднее арифметическое значение оцениваемой величины =25, 68,

· среднеквадратическое значение случайной погрешности результатов =0, 027=0, 028

При заданном значении доверительной вероятности Р =0, 95 и числе измерений n по таблицам определяют коэффициент Стьюдента t_p

Для доверительной вероятности Р=0, 95 и числе измерений n=9 коэффициент Стьюдента t_p= 2.23.

Если неизвестна (не задана) приборная погрешность, то границы доверительного интервала определяют по формуле:

= = = 0, 06 (11)

Окончательный результат многократных измерений записывается в виде:

х = ; при Р=0, 95.

х = 25, 68 0, 06В

Определим результат измерений и его суммарную погрешность, представленные в таблице 3:

Таблица 4

Результаты измерений погрешностей

№п/п	Наименование погрешности	Обозначение	Величина, В
	Погрешность прибора класса точности 0, 025/0, 05
	Погрешность прибора температурная		0, 15
	Методическая погрешность		- 0, 55
	Случайная составляющая		0, 06

Доверительные границы погрешности результата измерения можно вычислить по формуле

, (12)

Где:

· - коэффициент, зависящий от соотношения случайной и систематической погрешности;

· - оценка суммарного среднеквадратического отклонения результата измерения

· определяется по формуле 13 и 14:

(13)

(14)

Результат:

Итоговый результат при многократных измерениях: 25, 68 0, 8 В, Р=0, 95

Вывод: При многократных измерениях случайная составляющая погрешности значительно уменьшается. Если в результат измерения внести поправку на явно выраженную методическую погрешность, то результат измерения будет выглядеть следующим образом:

;

Результат: