Несобственные интегралы от функции одного порядка

Если существует , то оба несобственных интеграла от и сходятся или расходятся одновременно.

Заметим, что вопрос о сходимости или расходимости несобственных интегралов и актуален только тогда, когда функция f (x) и g (x) являются бесконечно малыми ; в противном случае несобственные интегралы по промежутку гарантировано расходятся (рис. 9).

Рис. 9

Поэтому существование конечного предела где k – число, означает, что функции f (x) и g (x) имеют одинаковый порядок малости при . Другими словами, эти функции стремятся к нулю при с одинаковой скоростью, поэтому понятно, что несобственные интегралы от этих функций по промежутку сходятся или расходятся одновременно. Геометрически это означает, что площади под графиками этих функций на неограниченном промежутке одновременно вычисляются или не вычисляются (рис. 10).

Рис. 10

Пример исследования собственных интегралов первого рода по достаточным признакам сходимости, расходимости

Решение

Составим неравенства для подынтегральной функции
Вычислим несобственный интеграл от функции, которая больше данной подынтегральной функции	сходится
Из сходимости интеграла от большей функции следует сходимость интеграла от меньшей функции. Следовательно, несобственный интеграл от данной функции также сходится (по признаку сравнения).

Ответ: - сходится.

Решение

;

Из расходимости интеграла от меньшей функции следует расходимость интеграла от большей функции, следовательно несобственный интеграл от данной функции также расходится.

Ответ: -расходится.

Решение

Рассмотрим несобственный интеграл от модуля подынтегральной функции.	; так как и -сходящийся, то Сходится по достаточному принципу сравнения.
По признаку абсолютной сходимости заключаем, что тоже сходится, причем абсолютно

Ответ: - сходится абсолютно.