Приклад 5.

Знайдемо вектори . Модуль мішаного добутку у шість разів більший за об’єм піраміди, побудованої на векторах , тобто Для обчислення площі гра-
ні АВС знайдемо . Тоді , а висота піраміди .

Варіанти завдань для самостійного виконання.

1. Знайти кут між векторами .

2. При якому значенні a вектори і будуть перпендикулярними, якщо

3. Визначити кути трикутника з вершинами , і .

4. У трикутнику з вершинами знайти кут, утворений стороною ОВ і медіаною ОМ.

5. Який кут утворюють одиничні вектори і , якщо вектори і взаємно перпендикулярні?

6. Знайти проекцію вектора на вісь, що має напрям вектора , де і взаємно перпендикулярні орти. Обчислити кути між віссю проекції і ортами та .

7. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах .

8. Обчислити , якщо .

9. Дано компланарні вектори , причому і .

Обчислити модуль вектора .

10. Задано вектори і . Знайти і .

11. Обчислити довжини діагоналей паралелограма, побудованого на векторах , де .

12. Дано вектор , де . Знайти і .

13. Дано точки . Побудувати вектори і та знайти .

14. Визначити кут між бісектрисами двох плоских кутів правильного тетраедра, які проведені з однієї вершини.

15. З вершини прямокутника зі сторонами 6 і 4 проведено прямі, що ділять протилежні сторони навпіл. Знайти кут між ними.

16. Обчислити площу і висоту паралелограма, побудованого на векторах .

17. Вектори і утворюють кут, що дорівнює 45°. Знайти площу і одну з висот трикутника, побудованого на векторах і , якщо .

18. Обчислити висоту і площу трикутника з вершинами в точках і .

19. Обчислити синус кута між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах .

20. Обчислити проекцію вектора на напрям вектора .

21. Знайти об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах .

22. Чи знаходяться точки в одній площині?

23. Знайти об’єм тетраедра, побудованого на векторах , якщо ці вектори направлені за бісектрисами координатних кутів і довжина кожного з них дорівнює 2.

24. Дано піраміду з вершинами і . Обчислити її об’єм і висоту, опущену на грань АВС.

25. Довести, що при будь-яких вектори , компланарні.

26. Дано піраміду з вершинами і . Обчислити її об’єм і висоту, опущену на грань АВС.

27. Обчислити висоту і площу трикутника з вершинами в точках і .

28. Вектори і утворюють кут, що дорівнює 45°. Знайти площу і одну з висот трикутника, побудованого на векторах і , якщо .

29. Дано піраміду з вершинами і . Обчислити її об’єм і висоту, опущену на грань АВС.

30. Обчислити висоту і площу трикутника з вершинами в точках і .

2.2 Пряма на площині

Пряма лінія на площині ХОУ - множника точок М (х; у), що задовольняють рівняння , де А, В, D – задані коефіцієнти прямої, причому

Рівняння прямої, що проходить через точку Мо (х_о; у_о) і має вектор нормалі має вигляд:

А(х—х_о)+В(у—у_о) = 0 (1)

Рівняння прямої, що проходить через дві різні точки М₁(х₁; у₁) i М₂(х₂; y₂) таке:

(2)

Piвняння прямої, що проходить через данy точку М₀(х_о; у_о) y зaданомy напрямку

y - y_o = k(x—x_o) (3)

де k = tgα — кутовий коефіцієнт прямої, α — кут між прямою i віссю ОХ.

Якщо прямої i задані рівняннями з кутовим коефіцієнтами і , то кут між ними обчиcлюється по формулі:

Умова паралельності прямих i має вид k₁ = k₂ , a yмoвa їх перпендикулярності Якщо прямі ₁ і ₂ задані загальними рівняннями A₁х+ В₁y+C₁ =0 і A ₂x+В₂y+C₂=0, то величина кута між ними обчислюється по формyлі

умова їх паралельності

умова їх перпендикулярності A₁A₂+B₁B₂=0.

Відстань d від точки M₀(x_0; y₀) до прямої A_x+B_y+C=0 обчислюється по формулі

Приклад 1.

Дано трикутник із вершинами A(1, -2), В(5; 4) i С(-2; 0). Скласти рівняння медіани СМ, висоти BN та бісектриси AP.

Разв'язок. Якщо М(х₁; у₁) — середина сторони АB, то і звідси М(3; 1).

Тeпер рівняння медіани CM знайдемо як рівняння прямої, що проходить через дві точки С(-2; 0) i М(3; 1). Маємо за формулою (2):

Оскільки висoта BN проходить через точку B i має вектор нормaлі то за формулою (1) дістанемо рівняння прямої BN:

- 3(х- 5) + 2(y-4)=0 aбo Зх-2y-7=0.

Для визначення рівняння прямої AP скористаємося властивістю бісектриси:

Маємо тому

.

Оскільки точка P(x; y) ділить відрізок ВС y відношенні то за формулами , дістанемо і тоді,

Отже, рівняння бісектриси AP, знайдемо як рівняння прямої, що проходить

через дві точки A(1; -2) i (формула 2).

Маємо

або або