Основні теоретичні положення

Об'єкт дослідження може мати кілька змінних, що визначають його стан, причому чим їх буде менше, тим стислішим буде план експерименту. Існують різні способи зменшення кількості змінних: зміна мети дослідження, розподіл об'єкта дослідження на складові, встановлення зв'язку між змінними стану та ін. Досвід показує, що здебільшого вдається обмежитись однією змінною стану. Якщо ж таких змінних кілька, досліди проводяться щодо кожної з них.

Вибираючи змінну стану, необхідно враховувати такі умови:

1. змінна стану повинна мати кількісне значення, тобто вимірюватись;

2. повинна однозначно описувати об'єкт дослідження;

3. під час проведення дослідів повинна бути статистично ефективною, тобто з найменшою дисперсією (відхилення від середніх значень).

Вибір чинників – це найвідповідальніший етап підготовки до планування досліду, від нього залежить правильність розв'язання поставленої задачі.

Під час проведення досліду враховують всі чинники, які можуть суттєво впливати на процес вивчення. Для цього вони повинні бути керованими і однозначними. Керувати чинником – означає мати можливість встановлювати його потрібне значення і підтримувати сталим на час дослідження. Чинники мають безпосередньо діяти на об'єкт дослідження. Вони можуть бути кількісними і якісними залежно від мети і об'єкта дослідження. Кожне обране значення чинника називається його рівнем.

Вибираючи чинники, враховують наступне:

1. кожен чинник має бути регульованим (щоб за допомогою певного пристрою можна було змінювати його від якогось значення до значення );

2. зміна одного чинника не має спричиняти зміни інших;

3. точність вимірювання і керування чинниками мають бути відомими і достатньо високими.

До чинників та змінних стану одночасно висуваються такі вимоги:

1. чинники і змінні стану повинні мати області визначення, задані технологічними або принциповими обмеженнями;

2. між чинниками та змінними стану має бути однозначна відповідність.

Мета експерименту – отримати математичну модель об'єкта, яка використовується для його оптимізації (вибір варіанта з багатьох можливих) або апроксимації (наближений опис яких-небудь величин через інші, простіші). Для отримання математичної моделі використовують дослід чинників, суть якого полягав в послідовній зміні всіх чинників об'єкта і проведенні дослідження за певним планом, одержання математичної моделі (функції відгуку) у вигляді лінійного полінома і дослідженні останнього методами математичної статистики.

Для спрощення розрахунків значення чинників перетворюють в умовні одиниці, тобто так, щоб вони відповідали числам -1; 0; +1. В умовний масштаб їх переводять так:

а) встановлюють мінімальне, максимальне та нульове (середнє) значення (рівні) відповідно до найбільш прийнятного, з точки зору дослідника, значення даного чинника:

б)задають інтервал або крок зміни , тобто таке значення чинника в натуральних одиницях, додавання якого до нульового рівня дає верхній, а віднімання − нижній його рівень:

в) розраховують умовне значення рівнів чинників /-1; 0; +1/.

Формули переведення в умовний масштаб для наступні:

Кожне значення між та , переводять в умовний масштаб за формулою:

Кодування чинників означає перехід від системи координат у натуральних одиницях до системи координат у кодованій формі.

У загальному випадку експеримент, в якому реалізуються всі можливі комбінації рівнів чинників, називається повним експериментом чинників.

Якщо кожний чинник змінюється на двох рівнях (верхній і нижній), отримують повний експеримент чинників типу , де 2 − число рівнів, а кількість чинників. Тобто для двох чинників (п = 2) необхідно провести чотири досліди (2² = 4).

При плануванні досліду на трьох рівнях (верхній, середній, нижній) − повний експеримент чинників буде типу і для двох чинників загальне число дослідів буде 9 (3²).

Після переведення всіх чинників в умовний масштаб складають матрицю планування, тобто план, який вміщує запис усіх комбінацій чинників або їх частини в кодованій формі. Таблиця 1.1, наприклад, є матрицею планування для двох чинників на двох рівнях.

Таблиця 1.1

Для спрощення побудови матриці планування з більшим числом чинників використовують кілька способів. Перший з них полягає в тому, що послідовне поєднання верхнього та нижнього рівнів (+1; -1) для першого чинника подвоюють для кожного подальшого чинника (+1, +1, -1, -1 − графа 5, табл. 1.2; +1, +1, +1, +1, -1, -1, -1, -1 − графа 6 і т.д.). Побудова матриці планування повного експерименту чинників (ПЕЧ) від 2² до 2⁵ наведена в табл. 1.2.

Цей прийом поширюється на побудову матриць будь-якої розмірності. –це стовпець значень фіктивної змінної. Доведено, що його участь у матриці планування дає можливість узагальнити розрахунки коефіцієнтів математичної моделі.

Деколи процес побудови матриці планування /табл. 1.3/ трактується як засіб чергування знаків. Дійсно, в першому стовпці знаки не змінюються, в другому – змінюються почергово, в третьому – вони повторюються через два, в четвертому – через чотири і т.д.

Таблиця 1.2

Таблиця 1.3

Після побудови матриці планування розпочинають проведення досліду. Часто матрицю планування зображають в зручному для виконання дослідів вигляді − всі кодовані значення чинників замінюють дійсними, відповідно найменшими або найбільшими. Таку матрицю називають робочою. В робочу матрицю також заносять час проведення дослідів, значення обмежуючих змінних, особливості проведення дослідів. Такі подробиці в описі умов експерименту дуже часто бувають корисними для оцінювання достовірності отриманих значень, впливу повторюваних похибок та ін. Враховуючи, що на значення вихідної змінної впливають похибки, досліди повторюють декілька разів. З цього отримують т паралельних значень змінної стану. Число т встановлюють за результатами попереднього експерименту або за допомогою спеціально проведених дослідів, які підтверджують відтворюваність отриманих результатів.

Після проведення експериментів, тобто за значеннями функції відгуку знаходять рівняння лінійної моделі або рівняння регресії (залежність середнього значення якої-небудь величини від деякої іншої або кількох величин).

Як було згадано вище, для досліду, в якому змінюються два показники, всі можливі комбінації чинників під час їх зміни на двох рівнях (мінімальному та максимальному) будуть визначені чотирма дослідами (табл. 1.3).

Користуючись планом, після проведення експериментів можна отримати лінійне рівняння регресії:

(1.1)

Коефіцієнти рівняння визначають за формулою:

(1.2)

де і=1, 2, 3,...n;

N - число рядків матриці планування;

– середнє значення змінної стану за пара лельними дослідами и− горядка матриці планування;

m − число паралельних дослідів;

Nm− загальне число дослідів;

К− число чинників.

Приклад 1. Розглянемо процес планування експерименту під час вивчення кінетики реакції соляно-кислотного розчину з карбонатною породою. Ця реакція має місце в разі проведення соляно-кислотних обробок свердловин. Швидкість реакції головним чином залежить від тиску P, температури T і концентрації кислоти С.

Вважатимемо значення концентрації С сталою величиною, що дорівнює 15 %, а тиск і температуру в дослідах змінюватимемо відповідні від 1 до 40 MПа і від 20 до 120 ⁰С. В дослідах виміряємо масову частку розчинної породи від її початкової маси.

Введемо позначення: ,

де Р - тиск, МПа; Т - температура, °С; G - маса розчиненої породи, г; G − початкова маса породи, г.

Тоді чинники матимуть такі значення:

Інтервали зміни значень чинників будуть відповідно:

Значення максимальних і мінімальних рівнів чинників в умовному масштабі визначають за формулами:

Складаємо робочу матрицю планування експерименту (табл. 1.4).

Таблиця 1.4

Після отримання результатів дослідів визначаємо значення функції відгуку у (табл. 1.5).

Таблиця 1.5

Номер	Експериментальне значення у
досліду
	0, 62	0, 59	0, 65	0, 62	0, 62
	0, 84	0, 80	0, 81	0, 86	0.8275
	0, 16	0, 13	0, 20	0, 11	0, 15
	0, 32	0, 29	0, 31	0, 39	0, 3275

Середні рядкові значення функції відгуку:

Розрахуємо коефіцієнти рівняння регресії за рівнянням (1.2):

Тоді лінійнерівняння регресії матиме вигляд:

Після визначення коефіцієнтів рівняння регресії переходять до статистичного аналізу рівняння, що складається з трьох етапів:

· оцінка дисперсії відтворення або оцінка помилки експерименту;

· оцінка значимості коефіцієнтів рівняння регресії;

· оцінка адекватності моделі.

Помилки досліду або дисперсії відтворення оцінюють за паралельними дослідами. Перед розрахунком помилки досліду необхідно, в першу чергу, переконатися, що розсіювання результатів дослідів не перевищує деякого значення. З цією метою розраховують рядкові дисперсії іперевіряють їх однорідність. Розрахунок проводять за формулою

/1.3/

Перевірити однорідність дисперсій можна за критерієм Кохрена, розрахункове значення якого становить

/1.4/

де − максимальне значення розрахованих рядкових дисперсій,

− сума всіх дисперсій за N рядками матриці планування.

Критерій Кохрена при q= 0, 05 наведено в табл. 1.6. Якщо виконується умова

(1.5)

то гіпотеза про однорідність дисперсій приймається.

Величину знаходять за табл. 1.6 для чисел ступенів свободи і та рівня значимості q. У технічних розрахунках береться 5 %-й рівень значимості: q = 0, 05.

Якщо умова (1.5) не виконується, то одним з рішень є збільшення числа паралельних дослідів, тобто ще раз або кілька разів необхідно реалізувати матрицю планування.

Якщо збільшення т ( кількість паралельних дослідів) не дало очікуваного наслідку, необхідно змінити метод контролю змінної стану підвищенням його точності.

За виконання умови (1.5) середні значення рядкових дисперсій знаходять за рівнянням:

/1.6/

де N(m-1)=f − - число ступенів свободи.

Отже, отримують помилку досліду .

Середньоквадратичне відхилення або похибка .

Приклад 2. За даними прикладу 1 проведено чотири паралельні досліди. Рядкові середні значення функції відгуку дорівнюють відповідно 0, 62; 0, 8275; 0, 15; 0, 3275. Тоді рядкові дисперсії будуть:

Таблиця 1.6

Розрахункове значення критерію Кохрена:

Табличне значення критерію Кохрена при і буде .

Отже, у нашому прикладі дисперсія однорідна і можемо визначити помилку дослідів за формулою (1.6):

Середньоквадратичне відхилення, або похибка відтворювання:

Якщо в кожному рядку ставиться тільки один дослід, то дисперсія не може бути вирахувана. Тоді її величина оцінюється побічно, за відомими метрологічними характеристиками контрольно-вимірювальних приладів.

На другому етапі аналізу виконують перевірку значимості коефіцієнтів рівняння регресії. Завжди один чинних більше впливає на змінну стану, а другий − менше. Для оцінки такого впливу перевіряють значимість кожного коефіцієнта двома рівноцінними способами. В обох випадках спочатку визначають дисперсію коефіцієнтів регресії за формулою:

(1.7)

За першим способом значимість коефіцієнтів оцінюють за формулою:

(1.8)

За умови

(1.9)

де − абсолютне значення і- гокоефіцієнта регресії; − середньоквадратичне відхилення (похибка коефіцієнтів регресії);

- табличне значення критерію Стьюдента, яке визначають за числом ступенів свободи = N(т - 1) ірівнем значимості q ( табл. 1.7);

За другим способом перевірки значимості коефіцієнтів регресії використовують довірчий інтервал , який унаслідок рівності для всіх коефіцієнтів, буде однаковим для всіх :

/1.10/

Тоді значимість оцінюють, порівнюючи абсолютні значення коефіцієнта ідовірчого інтервалу:

/1.11/

Якщо умови (1.9) і(1.11) виконуються, то i- й коефіцієнт вважається значимим, у противному разі відповідний чинник можна признати незначним і вилучити його з рівняння регресії. Але при цьому треба бути обережним і перевіряти, чи не є отриманий чинник не значимим, внаслідок невдало обраного інтервалу його зміни, тобто чи не він прийнятий замалим. Для обґрунтування результатів слід повторити експеримент для розширеного інтервалу зміни значення чинника, який досліджується. Безперечно для цього кількість дослідів та час експерименту дещо зростуть. Деколи половину дослідів зберігають за рахунок того, що розширення інтервалу проводять тільки в один бік, тобто значення одного рівня (верхнього або нижнього) залишається попереднім.

Таблиця 1.7

Приклад 3. Перевірка значимості коефіцієнтів регресії. За даними прикладів 1 і 2 дисперсія коефіцієнтів рівняння регресії згідно з рівнянням (1.7) буде:

Похибка коефіцієнтів або середньоквадратичне відхилення їх значень:

Розрахункове значення критерію Стьюдента визначаємо з рівняння (1.8):

Табличне значення коефіцієнта Стьюдента при ступені свободи і рівні значимості визначаємо за табл. 1.7: = 2, 18.

Оскільки, , то всі коефіцієнти рівняння значимі.

За другим способом порівнюємо абсолютні значення коефіцієнтів зі значенням довірчого інтервалу .

Для : 0, 481 > 9, 97*10^-3;

: 0, 096 > 9.97*10^-3;

: 0, 242 > 9.97*10^-3.

Отже, і за другим cпособом усі коефіцієнти рівняння регреcії є значимими.

Третій етап аналізу рівняння − це перевірка його адекватності.

Придатність лінійного рівняння регресії для розв'язання задачі пошуку області оптимуму /оптимум − сукупність найсприятливіших умов/ перевіряється порівнянням двох дисперсій: адекватності та помилки досліду.

Дисперсія адекватності показує розсіювання середніх дослідних даних змінної стану відносно тих значень змінної стану , які розраховуються за отриманим рівнянням регресії, значення якої розраховується за формулою

/1.12/

де - число членів у рівнянні регресії, що залишилися після пере­вірки їх значимості.

Адекватність перевіряють оцінкою співвідношення

/1.13/

за критерієм Фішера

/1.14/

для ступенів свободи та заданого рівня значимості /табл. 1.8/. - відповідно розрахун­кове і табличне значення критерію Фішера.

Якщо умова /1.14/ виконується, лінійне рівняння регресії признається адекватним, тобто розсіювання експериментальних даних змінної стану відносно рівняння регресії має такий самий порядок, як і розсіювання, спричинене випадковими змінами в об'єкті дослідження /помилка досліду/.

При розрахунку припускається, що > , але в дійсності буває і навпаки: . Тоді висновок про адекват­ність моделі можна висувати без перевірки умови /1.14/.

Якщо умова /1.14/ не виконується, тобто лінійна модель неадек­ватна, найчастіше приймають рішення про зменшення інтервалів зміни чинників і повторення експерименту. Доцільно в план експерименту ввес­ти нові чинники з тих, які були відсіяні.

Таблиця 1.8

Приклад 4. Перевірка адекватності.

За даними попередніх прикладів визначаємо значення функції відгуку для кожного рядка за отриманим рівнянням регресії:

Дисперсію адекватності обчислимо за формулою /1.12/:

Розрахункове значення критерію Фішера:

Табличне значення критерію Фішера при ступенях свободи і при 5 %-й значимості (q= 0, 05) знаходимо за табл. 1.8: 4, 75.

0, 778 < 4, 75 - умова /1.14/ виконується, що свідчить про адек­ватність рівняння регресії.