Частотный спектр амплитудно-модулированного колебания

УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Кафедра № 12

Л Е К Ц И Я № 10

«Радиосигналы с амплитудной модуляцией»

^{(наименование темы)}

по дисциплине «Теория радиотехнических цепей и сигналов»

Профессор кафедры №12

доктор технических наук, профессор

^{(ученая степень, ученое звание,}

Лось А.П.

^{воинское звание, фамилия и инициалы автора)}

Санкт-Петербург

2011 г.

Вопросы лекции.

1. Общие определения радиосигналов

Частотный спектр амплитудно-модулированного колебания

1. ОБШИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАДИОСИГНАЛОВ

Для передачи информации на расстояние применяются сигналы, эффективно излучаемые с помощью антенных устройств, обладающие способностью распространяться в виде свободных радиоволн в среде, разделяющей отправителя и получателя информации. Такими сигналами являются высокочастотные колебания. Передаваемая информация должна быть тем или иным способом заложена в высокочастотное колебание, называемое несущим.
Частота (ω ₀ этого колебания выбирается в зависимости от расстояния, на которое должна передаваться информация, от условий распространения радиоволн и ряда других технических и экономических факторов. Но в любом случае частота ω ₀ должна быть велика по сравнению с наивысшей частотой спектра передаваемого
сообщения.

Это объясняется тем, что для неискаженной передачи сообщения через радиотехнические цепи, а также для. устранения искажений, обусловленных распространением радиоволн, необходимо, чтобы ширина спектра сообщения m_m была мала по сравнению с ю₀;
чем меньше отношение тем меньше проявляется несовершенство характеристик системы. Поэтому чем выше требуемая скорость передачи информации, и, следовательно, шире спектр сообщения ω _т тем выше должна быть несущая частота радиосигнала. Как правило, выполняется неравенство

Любой радиосигнал можно поэтому трактовать как «узкополосный» процесс даже при передаче «широкополосных» сообщений.

Приведем следующие примеры. При передаче речи или музыки спектр сообщения обычно ограничивают полосой от F_мин30—— 50 Гц до F_макс = 3000—10 000 Гц. Даже на самой длинной волне вещательного диапазона К = 2000 м при несущей частоте ƒ ₀==150 кГц, отношение При передаче тех же сообщений на коротких волнах (при частотах 15—
20 МГц) это отношение не превышает сотых долей процента. При передаче подвижных изображений (телевидение) полоса частот сообщения весьма широка и достигает 5—6 МГц, однако несущая частота выбирается не менее 50—60 МГц, так что отношение F_makc/ƒ o не превышает 10%.

В самом общем случае радиосигнал, несущий в себе информацию можно представить в виде

в котором амплитуда А или фаза θ изменяются по закону передаваемого сообщения.

Если А и Э — постоянные величины, то выражение (3.1) описывает простое гармоническое колебание, не содержащее в себе никакой информации. Если А и Э (следовательно, и подвергаются принудительному изменению для передачи сообщения, то колебание становится модулированным.

В зависимости от того, какой из двух параметров изменяется— амплитуда А или угол 0 — различают два основных вида модуляции: амплитудную и угловую. Угловая модуляция, в свою очередь, подразделяется на два вида: частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ).
Эти два вида модуляции между собой тесно связаны, и различие между ними проявляется лишь в характере изменения во времени
угла при одной и той же модулирующей функции.

Модулированное колебание имеет спектр, структура которого зависит как от спектра передаваемого сообщения, так и от вида модуляции. То обстоятельство, что ширина спектра модулирующего сообщения мала по сравнению с несущей частотой (ω ₀, позволяет считать A (t) и θ (t) медленными функциями времени. Это означает, что относительные изменения A (t) и θ (t) за один период
несущего колебания малы по сравнению с единицей.

Рассмотрим сначала вопрос об изменении амплитуды. При скорости изменения амплитуды dA/dt приращение амплитуды за один период Т₀ можно приближенно приравнять , Следовательно, относительное изменение за период равно

Аналогичным образом можно установить условие медленности функции θ.

Так как мгновенная частота колебания равна скорости изменения фазы (об этом подробнее будет сказано в следующих параграфах), то, дифференцируя аргумент выражения (3.1), находим

Производная dθ /dt определяет отклонение частоты ω (t) от частоты ω ₀. Это отклонение может быть быстрым или медленным. Длятого чтобы колебание a (t) можно было считать близким к гармоническому, нужно потребовать, чтобы изменение частоты за один цикл Т₀ =2π /ω ₀ было мало по сравнению с частотой ω (t) в рассматриваемый момент времени.

Таким образом, условие медленности функции θ (t) можно записать в виде следующего неравенства: •

Для большинства используемых в радиотехнике сигналов не-равенства (3.2) и (3.3) обычно выполняются. Это означает, что при любом виде модуляции параметры радиосигнала: амплитуда, фазаи частота — изменяются настолько медленно, что в пределах одного периода Т₀ колебание можно считать гармоническим.

Эта предпосылка лежит в основе всего дальнейшего рассмотрения свойств радиосигналов и их спектров.

2. РАДИОСИГНАЛЫ С АМПЛИТУДНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Амплитудная модуляция является наиболее простым и оченьраспространенным в радиотехнике способом заложения информации в высокочастотное колебание. При амплитудной модуляции огибающая амплитуд несущего колебания изменяется по закону, сов-падающему с законом изменения передаваемого сообщения, частота же и начальная фаза колебания поддерживаются неизменными. Поэтому для амплитудно-модулированного радиосигнала общее
выражение (3.1) можно заменить следующим:

a (t) = A (t) cos (ω ₀t + θ ₀). (3.4)

Характер огибающей A (t) определяется видом передаваемого сообщения.

При непрерывном сообщении (рис. 3.1, а) модулированное колебание приобретает вид, показанный на рис. 3.1, б. Огибающая
A (t) изменяется по закону,
воспроизводящему сообщение
s (t). Рис. 3.1, б построен в
предположении, что постоянная
составляющая функции s (t) равна нулю. (в противоположном
случае амплитуда несущего колебания А₀ может не совпадать c амплитудой немодулированного
колебания). Наибольшее изменение A (t) «вниз» не может быть больше А₀. Изменение же
«вверх» может быть в принципе
и больше А₀.

Основным параметром амплитудно-модулированного колебания является глубина модуляции.

Определение этого понятия
особенно наглядно для тональной модуляции, когда модулирующая функция является гармоническим¹ колебанием:

Огибающую модулированного колебания при этом можно представить в виде

где Ω — частота модуляции; у — начальная фаза огибающей; коэффициентпропорциональности; — амплитуда изменения огибающей (рис, 3.2).
Отношение

называется коэффициентом модуляции.

Ω используется для обозначения частоты модулирующей функции.

Таким образом, мгновенное значение модулированного колебания можно записать в форме

При неискаженной модуляции амплитуда колебания

изменяется в пределах от минимальной ) до

максимальной

В соответствии с изменением амплитуды изменяется и средняя
за период высокой частоты мощность модулированного колебания.
Пикам огибающей соответствует мощность, в раз большая

мощности несущего колебания. Средняя же за период модуляции
мощность пропорциональна среднему¹ квадрату амплитуды А (ƒ):

Эта мощность превышает мощность несущего колебания всего
лишь в раз. Таким образом, при 100%-ной модуляции (M=1) пиковая мощность равна 4Р₀, а средняя мощность 1, 5P₀ (через Р₀ = ¹/₂A_о² обозначена мощность несущего колебания). Отсюда видно, что обусловленное модуляцией приращение мощности колебания, которое в основном и определяет условия выделения сообщения при приеме, даже при предельной глубине модуляции не
превышает половины мощности несущего колебания.

При передаче дискретных сообщений, представляющих собой чередование импульсов и пауз (рис. 3.3, о), модулированное колебание имеет вид последовательности радиоимпульсов, изображенных
на рис. 3.3, б.

При этом имеется в виду, что фазы высокочастотного заполнения в каждом из импульсов такие же, как и при «нарезании» их из непрерывного гармонического колебания. Только при этом условии показанную на рис. 3.3, б последовательность радиоимпульсов можно трактовать как колебание, модулированное лишьпо амплитуде. Если от импульса к импульсу фаза изменяется то следует говорить о смешанной, амплитудно-угловой модуляции.

Среднее значение за период модулирующей частоты равно

нулю, а среднее значение ) равно ¹/₂ Черта над функцией означает;

операцию усреднения по времени.

3. ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР АМПЛ ИТУДНО-МОДУЛИРОВАННОГО

СИГНАЛА

Пусть задано высокочастотное модулированное колебание, относительно которого известно, что частота ω ₀ и начальная фаза θ ₀ —
величины постоянные, а огибающая A (f) содержит в себе передаваемое сообщение s (t). Аналитически такое колебание можно представить с помощью выражения (3.4).

Требуется установить связь между спектром модулированного колебания и спектром модулирующей функции, т. е. спектром исходного сообщения s(t). Проще и нагляднее всего это можно сделать для тональной (гармонической) модуляции, когда огибающая

а модулированное колебание определяется выражением (3.6).
Перепишем выражение (3.6) в форме

Второе слагаемое в правой части этого выражения, являющееся
продуктом модуляции, можно привести к виду

после чего развернутое выражение колебания a (f) принимает вид

Первое слагаемое в правой части представляет собой исходное немодулированное колебание с частотой ш₀. Второе и третье слагаемые соответствуют новым колебаниям (гармоническим), появляющимся в процессе модуляции амплитуды. Частоты этих колебаний
называются верхней и нижней боковыми частотами модуляции.

Амплитуды этих двух колебаний одинаковы и составляют от амплитуды немодулированного колебания долю, равную М/2, а их фазы симметричны относительно фазы несущего колебания. Это иллюстрируется векторной диаграммой, представленной на рис. 3.4.

На этом диаграмме ось времени вращается по часовой стрелке сугловой частотой со₀, причем отсчет угла ω ₀t ведется от линии ОВ
Поэтому несущее колебание изображается на

этой диаграмме в виде неподвижного вектора 0D длиной А₀, составляющего с горизонталью угол θ _О. Мгновенное значение несущего колебания в момент t равно проекции вектора A₀ на ось времени
(отрезок ОК).

Для представления на этой же диаграмме колебания с частотой
превышающей угловую частоту вращения оси времени на
величину Ω, необходимо воспользоваться вектором, вращающимся с угловой частотой Ω против часовой стрелки (вектор DC_X). Для изображения
колебания с частотой ω ₀ — Ω потребуется вектор, вращающийся с такой
же частотой Ω по часовой стрелке
(вектор DC₂). Поэтому колебания боковых частот — верхней и нижней —
изображаются двумя векторами длиной вращающимися во взаимно противоположных направлениях. Фазировка этих векторов симметрична относительно вектора несущего колебания А₀.
Это следует из выражения (3.8), которое для большей наглядности целесообразно записать в несколько
видоизмененной форме

Из этого выражения видно, что при любой начальной фазе огибающей у векторы DC_X и DC_a, соответствующие колебаниям верхней и нижней боковых частот, занимают симметричное относительно вектора 0D положение, причем векторы колебаний боковых частот образуют с вектором несущего колебания углы, равные
На рис. 3.4 начала этих векторов перенесены из точки О в точку D.
Равнодействующий вектор DF, являющийся геометрической суммой векторов DC_y и DC₂ и называемый вектором модуляции, всегда располагается на линии 0D, вследствие чего сумму всех трех колебаний — несущей и двух боковых частот — можно рассматривать как колебание с постоянными начальной фазой и частотой, но с модулированной амплитудой.

Попутно заметим, что если в результате прохождения через электрические цепи нарушается равенство амплитуд колебаний боковыхчастот или симметрия их фаз относительно фазы несущего колебания,
то возникает качание вектора, представляющего результирующее

колебание, относительно направления
0D. Это равносильно возникновению
паразитной фазовой модуляции.

Остановимся на вопросе о фазе огибающей амплитуд при чисто амплитуд-
ной модуляции. Допустим, что начальная фаза высокочастотного колебания
θ _О = 90°. Тогда векторная диаграмма
примет вид, показанный на рис. 3.5.
Если при векторы боковых частот DC_X и DC₂ направлены вверх (положение 1 на рис. 3.6), то огибающая
амплитуд проходит в этот момент через
свое максимальное значение
Этот случай соответствует начальной
фазе огибающей Ω t = 0 ([см. (3.6)], а
уравнение огибающей будет

Если же в момент Ω t = 0 векторы
DCy и DC₂ занимают горизонтальное положение; то равнодействующая проходит через значение, равное А₀. В этом случае начальная фаза
огибающей и уравнение для огибающей будет

Положение векторов боковых частот DC_X и DC₂ при = π /2,
π и обозначено на рис. 3, 6 соответственно цифрами

II, III и IV.

Спектральная диаграмма колебания при тональной модуляции
показана на рис. 3.7. Ширина спектра в этом случае равна удвоенной частоте модуляции 20,, а амплитуды колебаний боковых частот не могут превышать половины амплитуды немодулированного
колебания (при М ^ 1).

Аналогичные результаты можно получить при модуляции любым
сложным сигналом. Картину образования спектра амплитудно модулированного колебания проще всего пояснить сначала на
примере, когда модулирующее
сообщение s (t) является суммой
колебаний двух тонов:

По аналогии с выражением (3.5)
получаем

Подставляя это выражение в уравнение (3.4) и используя тригонометрические преобразования, аналогичные тем, которые были
проведены при получении уравнения (3.8), придем к следующему
результату (начальная фаза несущего и модулирующих колебаний
здесь для упрощения опущены);

Из полученного выражения следует, что каждая из частот Ω ₁
и Ω ₂ образует свою тональную модуляцию, сопровождающуюся возникновением пары боковых частот, причем этот процесс является
линейным в том смысле, что амплитуды и фазы боковых частот от
различных модулирующих напряжений взаимно независимы (последнее свойство сохраняется при условии, что суммарное изменение
огибающей «вниз» не превышает 100%).

Из приведенного примера нетрудно вывести правило построения
спектральной диаграммы амплитудно-модулированного колебания a (t) по заданному спектру модулирующей функции s (t). Пусть
последний имеет вид, представленный на рис. 3.8, с. Через S₁,
S₂, S_n,... обозначены амплитуды гармонических колебаний,
входящих в спектр сообщения s (t), а через Ω _min Ω _max— граничные частоты спектра.

Спектральная диаграмма высокочастотного колебания, промодулированного по амплитуде сообщением s (t), изображена на
рис. 3.8, б. Коэффициенты модуляции M_1, М₂, М_п пропорциональны амплитудам S_1, S₂, S_n соответствующих тонов, входящих
в сложное сообщение s(t).

Перейдем к общему случаю, когда спектр сообщения s (t) не
обязательно дискретный. Будем исходить из общего выражения
(3.4) Передаваемое сообщение s (t) содержится в законе изменения
огибающей A (t). Не предрешая вида функции s (t), составим выражение для спектральной плотности S_a (ω) высокочастотного колебания a(t), рассматриваемого как
произведение огибающей A (t) на
гармоническое колебание cos (ω ₀t +
+ θ ₀).

Основываясь на соотношении (2.58), в котором положим s(t) — А (t), получаем

В этом выражении Sa обозначает
спектральную плотность огибаю-
щей, т.е. модулирующей функции.

Следует подчеркнуть, что спектр медленно меняющейся функции времени A (t) группируется в области относительно низких частот. Поэтому функция существенно отличается от
нуля лишь при частотах ω, близких к ω ₀, т. е. когда разность ω —
— ω ₀ = Ω относительно мала. Аналогично слагаемое
существует при частотах, близких к

Таким образом, спектральная плотность модулированного колебания образует два всплеска: вблизи вблизи ω =
= — ω ₀. Поэтому для узкополосного сигнала можно считать, что
в области положительных частот

а в области отрицательных частот

Поясним правило построения спектра i на следующем

примере. Пусть огибающая высокочастотного колебания имеет вид

где s (t) — передаваемое сообщение, имеющее спектральную плотность S (Ω), а коэффициент k_ям имеет тот же смысл, что и в выражении (3.5).

Спектральная плотность огибающей A (t) изображена на
рис. 3.9, а. Дискретная часть этого спектра, равная 2π A₀δ (Ω)
соответствует постоянной величине А₀, а сплошная часть
передаваемому сообщению s (t).

Спектральная плотность S (ω) модулированного колебания
а (0 показана на рис. 3.9, б. В данном случае дискретные составляющие отображают несущее колебание
+ θ ₍₎), а сплошной спектр — колебания боковых частот модуляции.

Если радиосигнал не содержит несущего колебания (с конечной амплитудой), например, при передаче одиночного радиоимпульса, дискретная часть в спектре отсутствует.

Рассмотрим спектр радиоимпульса прямоугольной формы
(рис. 3.10, б), определяемого выражением

В данном примере под сообщением t > (f) следует подразумевать
видеоимпульс (рис. 3.10, а). Спектральная плотность подобного
сообщения [см. (2.68)]

Следовательно, огибающая амплитуд колебания a (t)

а спектральная плотность этой огибающей

Так как в данном случае 0_О = 0 (рис. 3.10, б), то по формуле
(3.9)

Графики спектральных плотностей модулирующей функции s (t) и
радиоимпульса a (t) изображены на рис. 3.11, а и б.

3.4. УГЛОВАЯ МОДУЛЯЦИЯ. ФАЗА И МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА

КОЛЕБАНИЯ

В случае простого гармонического колебания

набег фазы за какой-либо конечный промежуток времени от t — t_x
до t = t₂ будет равен

Отсюда видно, что при постоянной угловой частоте набег фазы за
какой-либо промежуток времени пропорционален длительности
этого промежутка.

С другой стороны, если известно, что набег фазы за время
t₂ — ti равен , то угловую частоту можно определить

как отношение

если, конечно, имеется уверенность, что в течение рассматриваемого промежутка времени частота сохраняла постоянное значение.

Из (3.16) видно, что угловая частота есть не что иное, как
скорость изменения фазы колебания.

Переходя к сложному колебанию, у которого частота может из-
меняться во времени, необходимо равенства (3.15), (3.16) заме-
нить интегральным и дифференциальным соотношениями

В этих выражениях — мгновенная угловая частота

колебания; ƒ (t) — мгновенная частота, Гц.

Согласно выражениям (3.17), (3.18) полную фазу высокочастотного колебания в момент t можно определить как

где первое слагаемое в правой части определяет набег фазы за
время от начала отсчета до рассматриваемого момента t, а θ _О —
начальная фаза колебания (в момент 1 — 0).

При таком подходе фазу , фигурирующую в

выражении (3.1), следует заменить на

/