Перша важлива границя.

Якщо є радіанна міра кута, то Це співвідношення і є перша важлива границя. При прямуванні до нуля тобто маємо, що границя відношення цих двох нескінченно малих величин дорівнює одиниці. Із цього випливає, до речі, що функції і поводять себе однаково при Відомо, що цей факт використовували астрономи: для дуже малих кутів їх значення приблизно дорівнюють самим синусам.

Очевидно, що

Приклад 1. Знайти Розв’язання усіх прикладів на розшук границь традиційно починається з тестування функції, розташованої під знаком границі. Для цього треба підставити граничне значення аргументу у дану функцію і подивитись, що при цьому одержуємо. У нашому випадку маємо невизначеність типу Використаємо формулу Тоді

Вище виконані елементарні еквівалентні перетворення. Також користуємось теоремою про границю добутку і очевиднім узагальненням першої важливої границі:

Приклад 2. У даному прикладі ми вперше одержуємо «екзотичну» невизначеність типу . При розв’язанні прикладів цей тип невизначеності легко привести або к типу , або – к . Детальніше це буде викладено при вивченні правила Лопіталя. Що до даного прикладу, то спочатку перепишемо його у вигляді:

Тестування показує, що тип невизначеності змінився на . Далі буде потрібна формула приведення:

Таким чином, залишається скористатись цім результатом і помножити одночасно чисельник і знаменник на Отже, маємо:

Як бачимо, знання шкільної тригонометрії суттєво використовується при вивченні і першої важливої границі. Тобто, зайвих знань не буває!