Векторний добуток векторів.

Векторним добутком вектора на вектор називається третій вектор , який має слідуючи властивості:

1. Вектор є перпендикулярним до векторів і й утворює із

ними, так звану, праву трійку векторів. Останнє означає що, якщо ви

знаходитесь на кінці вектора , то найкоротший поворот від вектора

до вектора ви бачите проти часової стрілки (при протилежній

ситуації трійка називається правою).

2. Якщо у векторному добутку вектори поміняти місцями, тоді маємо:

3. Модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма,

побудованого на векторах і , тобто де - це

кут між цими векторами. До речи, якщо треба знайти площу

трикутника, достатньо поділити площу паралелограма навпіл.

4. Якщо відомі координати векторів, а саме: , ,

то координати вектора можна знайти, розкривши за

елементами першого рядка наступний визначник:

- так звані орти декартової прямокутної системи координат у тримірному просторі: вектори, модулі яких дорівнюють одиниці, а напрямки співпадають із додатними напрямками відповідних осей координат, тобто

Саме коефіцієнти при після розкриття визначника за елементами першого рядка являють координати векторного добутку.

6. Із попереднього пункту маємо: векторний добуток двох колінеарних векторів дорівнює нулю. Цей висновок можна зробити, використавши розглянути вище результати. А саме: у колінеарних векторів відповідні координати пропорційні і визначник, що має пропорційні рядки дорівнює нулю.

Приклад 1. Знайти площу трикутника, заданого його вершинами

Шукана площа дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах і Знайдемо координати цих векторів.

Векторний добуток цих векторів Тому

Приклад 2. Нехай - орти декартової системи координат. Знайти

Очевидно, що Користуючись властивістю 4, маємо: тому що у визначнику другий і третій рядки однакові. Аналогічно одержуємо