Уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси

Для вывода уравнения динамики вращательного движения твердого тела используем теорему о кинетической энергии: работа результирующей всех сил, действующих на тело, идет на приращение кинетической энергии:

Пусть к телу, закрепленному на оси О, в горизонтальной плоскости приложена внешняя сила F (рис.5).

Рис.5.

Напомним, что элементарной работой dA силы F называется скалярное произведение силы F на бесконечно малое перемещение d l:

, (18)

где a - угол между направлением силы и направлением перемещения.

Отметим, что нормальная составляющая силы F_n (в отличие от тангенциальной F_τ ) и сила реакции опоры N работы не совершают, так как они перпендикулярны направлению перемещения.

Элемент dl=rdj при небольших углах поворота dj (r – радиус-вектор элемента тела). Тогда работа этой силы записывается следующим образом:

. (19)

Выражение Fr cosa является моментом силы (произведение силы F на плечо p=r cosa):

(20)

Тогда работа равна

. (21)

Эта работа затрачивается на изменение кинетической энергии вращения:

. (22)

Если I =const, то после дифференцирования правой части получим:

или, так как

, (23)

где - угловое ускорение.

Выражение (23) является уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси, которое лучше с точки зрения причинно-следственных связей представить как:

. (24)

Угловое ускорение тела определяется алгебраической суммой моментов внешних сил относительно оси вращения деленной на момент инерции тела относительно этой оси.

Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его поступательное движение (см. таблицу 1):

Таблица 1

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса m	Момент инерции I
Скорость	Угловая скорость
Ускорение	Угловое ускорение
Сила	Момент силы или
Основное уравнение динамики:	Основное уравнение динамики:
Работа	Работа
Кинетическая энергия	Кинетическая энергия

Динамика поступательного движения твердого тела полностью определяется силой и массой как мерой их инертности. При вращательном движении твердого тела динамика движения определяется не силой как таковой, а ее моментом, инертность не массой, а ее распределением относительно оси вращения. Тело не приобретает углового ускорения, если сила приложена, но ее момент будет равен нулю.