Корректность методов

Написать метод, задающий ту или иную функциональность, нетрудно. Это может сделать каждый. Значительно сложнее написать метод, корректно решающий поставленную задачу. Корректность метода - это не внутреннее понятие, подлежащее определению в терминах самого метода. Корректность определяется по отношению к внешним спецификациям метода. Если нет спецификаций, то говорить о корректности " некорректно".

Спецификации можно задавать по-разному. Мы определим их здесь через понятия предусловий и постусловий метода, используя символику триад Xoара, введенных Чарльзом Энтони Хоаром - выдающимся программистом и ученым, одну из знаменитых программ которого приведем чуть позже в этой лекции.

Пусть P(x, z) - программа P с входными аргументами x и выходными z. Пусть Q(y) - некоторое логическое условие (предикат) над переменными программы y. Язык для записи предикатов Q(y) формализовать не будем. Отметим только, что он может быть шире языка, на котором записываются условия в программах, и включать, например, кванторы. Предусловием программы P(x, z) будем называть предикат Pre(x), заданный на входах программы. Постусловием программы P(x, z) будем называть предикат Post(x, z), связывающий входы и выходы программы. Для простоты будем полагать, что программа P не изменяет своих входов x в процессе своей работы. Теперь несколько определений:

Определение 1 (частичной корректности): Программа P(x, z) корректна (частично, или условно) по отношению к предусловию Pre(x) и постусловию Post(x, z), если из истинности предиката Pre(x) следует, что для программы P(x, z), запущенной на входе x, гарантируется выполнение предиката Post(x, z) при условии завершения программы.

Условие частичной корректности записывается в виде триады Хоара, связывающей программу с ее предусловием и постусловием:

Определение 2 (полной корректности): Программа P(x, z) корректна (полностью, или тотально) по отношению к предусловию Pre(x) и постусловию Post(x, z), если из истинности предиката Pre(x) следует, что для программы P(x, z), запущенной на входе x, гарантируется ее завершение и выполнение предиката Post(x, z).

Условие полной корректности записывается в виде триады Хоара, связывающей программу с ее предусловием и постусловием:

Доказательство полной корректности обычно состоит из двух независимых этапов - доказательства частичной корректности и доказательства завершаемости программы. Заметьте, полностью корректная программа, которая запущена на входе, не удовлетворяющем ее предусловию, вправе зацикливаться, а также возвращать любой результат. Любая программа корректна по отношению к предусловию, заданному тождественно ложным предикатом False. Любая завершающаяся программа корректна по отношению к постусловию, заданному тождественно истинным предикатом True.

Корректная программа говорит своим клиентам: если вы хотите вызвать меня и ждете гарантии выполнения постусловия после моего завершения, то будьте добры гарантировать выполнение предусловия на входе. Задание предусловий и постусловий методов - это такая же важная часть работы программиста, как и написание самого метода. На языке C# пред- и постусловия обычно задаются в теге < summary>, предшествующем методу, и являются частью XML-отчета. К сожалению, технология работы в Visual Studio не предусматривает возможности автоматической проверки предусловия перед вызовом метода и проверки постусловия после его завершения с выбрасыванием исключений в случае их невыполнения. Программисты, для которых требование корректности является важнейшим условием качества их работы, сами встраивают такую проверку в свои программы. Как правило, подобная проверка обязательна на этапе отладки и может быть отключена в готовой системе, в корректности которой программист уже уверен. А вот проверку предусловий важно оставлять и в готовой системе, поскольку истинность предусловий должен гарантировать не разработчик метода, а клиент, вызывающий метод. Клиентам же свойственно ошибаться и вызывать метод в неподходящих условиях.

Формальное доказательство корректности метода - задача ничуть не проще, чем написание корректной программы. Но вот парадокс. Чем сложнее метод, его алгоритм, а следовательно, и само доказательство, тем важнее использовать понятия предусловий и постусловий, понятия инвариантов циклов в процессе разработки метода. Рассмотрение этих понятий параллельно с разработкой метода может существенно облегчить построение корректного метода. Этот подход будет продемонстрирован в нашей лекции при рассмотрении метода QuickSort - быстрой сортировки массива.

Инварианты и варианты цикла

Циклы, как правило, являются наиболее сложной частью метода - большинство ошибок связано именно с ними. При написании корректно работающих циклов крайне важно понимать и использовать понятия инварианта и варианта цикла. Без этих понятий не обходится и формальное доказательство корректности циклов. Ограничимся рассмотрением цикла в следующей форме:

Здесь B - условие цикла while, S - его тело, а Init - группа предшествующих операторов, задающая инициализацию цикла. Реально ни один цикл не обходится без инициализирующей части. Синтаксически было бы правильно, чтобы Init являлся бы формальной частью оператора цикла. В операторе for эта частично сделано - инициализация счетчиков является частью цикла.

Определение 3 (инварианта цикла): предикат Inv(x, z) называется инвариантом цикла while, если истинна следующая триада Хоара:

Содержательно это означает, что из истинности инварианта цикла до начала выполнения тела цикла и из истинности условия цикла, гарантирующего выполнение тела, следует истинность инварианта после выполнения тела цикла. Сколько бы раз ни выполнялось тело цикла, его инвариант остается истинным.

Для любого цикла можно написать сколь угодно много инвариантов. Любое тождественное условие (2*2 =4) является инвариантом любого цикла. Поэтому среди инвариантов выделяются так называемые подходящие инварианты цикла. Они называются подходящими, поскольку позволяют доказать корректность цикла по отношению к его пред- и постусловиям. Как доказать корректность цикла? Рассмотрим соответствующую триаду:

Доказательство разбивается на три этапа. Вначале доказываем истинность триады:

Содержательно это означает, что предикат RealInv становится истинным после выполнения инициализирующей части. Далее доказывается, что RealInv является инвариантом цикла:

На последнем шаге доказывается, что наш инвариант обеспечивает решение задачи после завершения цикла:

Это означает, что из истинности инварианта и условия завершения цикла следует требуемое постусловие.

Определение 4 (подходящего инварианта): предикат RealInv, удовлетворяющий условиям (*), (**), (***) называется подходящим инвариантом цикла.

С циклом связано еще одно важное понятие - варианта цикла, используемое для доказательства завершаемости цикла.

Определение 5 (варианта цикла): целочисленное неотрицательное выражение Var(x, z) называется вариантом цикла, если выполняется следующая триада:

Содержательно это означает, что каждое выполнение тела цикла приводит к уменьшению значения его варианта. После конечного числа шагов вариант достигает своей нижней границы, и цикл завершается. Простейшим примером варианта цикла является выражение n-i для цикла:

Пользоваться инвариантами и вариантами цикла нужно не только и не столько для того, чтобы проводить формальное доказательство корректности циклов. Они способствуют написанию корректных циклов. Правило корректного программирования гласит: " При написании каждого цикла программист должен определить его походящий инвариант и вариант". Задание предусловий, постусловий, вариантов и инвариантов циклов является такой же частью процесса разработки корректного метода, как и написание самого кода.