Главная страница Случайная страница
Разделы сайта
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Типовой расчет
|
|
Вариант № 1.
1. Найдите базис суммы и базис пересечения данных подпространств: 
и 
.
2. В пространстве 
найдите матрицу перехода от базиса 
, 
к базису 
, 
.
3. Пусть скалярное произведение задано формулой 
При каком значении параметра 
расстояние между функциями 
достигает наименьшего значения?
4. В подпространстве пространства 
, порожденном векторами
, найдите ортогональный базис.
5. Используя матрицу Грама, найдите базис, взаимный с данным:
; 
; 
.
6. Найдите матрицу линейного оператора 
в пространстве 
в стандартном базисе, если 
7. а) Найдите матрицу оператора симметрии относительно прямой 
в 
в стандартном базисе и в базисе 
б) Найдите матрицу оператора поворота вокруг начала координат на угол 
в в стандартном базисе и в базисе 
.
8. B функциональном пространстве 
найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора 
его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.
9. Приведите матрицу к диагональному виду. Найдите матрицу перехода. 
.
10. Линейный оператор 
, действующий в 
, переводит векторы 
в векторы 
соответственно. Найдите матрицу сопряженного оператора 
в стандартном базисе и базисе .
, 
11. Используя ортогональное преобразование координатной плоскости, приведите уравнение кривой к каноническому виду. Постройте кривую.
а) 
б) 
Вариант № 2.
1..Найдите базис суммы и базис пересечения подпространств 
и 
.
2. В пространстве найдите матрицу перехода от базиса 
, 
к базису 
, .
3. Пусть скалярное произведение задано формулой 
При каком значении параметра расстояние между функциями 
достигает наименьшего значения?
4. В подпространстве, порожденном векторами 
, найдите ортогональный базис.
5. Используя матрицу Грама, найдите базис, взаимный с данным:
; 
; 
.
6. Найдите матрицу линейного оператора в 
в стандартном базисе, если 
7. Найдите матрицу оператора проецирования на прямую в в стандартном базисе и в базисе 
. Найдите матрицу оператора поворота вокруг начала координат на угол 
в в стандартном базисе и в базисе 
8. B пространстве 
найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора 
, его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.
9. Приведите матрицу к диагональному виду. Найдите матрицу перехода.
10. Линейный оператор , действующий в , переводит векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу сопряженного оператора в стандартном базисе и базисе .
, 
.
11. Используя ортогональное преобразование координатной плоскости, приведите уравнение кривой к каноническому виду. Постройте кривую.
а) 
б) 
Вариант № 3.
1. Найдите базис суммы и базис пересечения подпространств 
и 
.
2. В пространстве найдите матрицу перехода от базиса 
, 
к базису 
, 
.
3. Пусть скалярное произведение задано формулой 
При каком значении параметра расстояние между функциями 
достигает наименьшего значения?
4. В подпространстве, порожденном векторами 
найдите ортогональный базис.
5. Используя матрицу Грама, найдите базис, взаимный с данным:
; 
; 
.
6. Найдите матрицу линейного оператора в в стандартном базисе, если 
7. Найдите матрицу оператора симметрии относительно прямой 
в в стандартном базисе и в базисе 
. Найдите матрицу оператора поворота вокруг начала координат на угол 
в в стандартном базисе и в базисе .
8. B пространстве 
найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора 
, его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.
9. Приведите матрицу к диагональному виду. Найдите матрицу перехода.
10. Линейный оператор , действующий в , переводит векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу сопряженного оператора в стандартном базисе и базисе .
, 
.
11. Используя ортогональное преобразование координатной плоскости, приведите уравнение кривой к каноническому виду. Постройте кривую.
а) 
б) 
Вариант № 4.
1..Найдите базис суммы и базис пересечения подпространств 
и 
.
2. В пространстве найдите матрицу перехода от базиса 
, 
к базису 
, 
.
3. Пусть скалярное произведение задано формулой 
При каком значении параметра расстояние между функциями 
достигает наименьшего значения?
4. В подпространстве, порожденном векторами 
, найдите ортогональный базис.
5. Используя матрицу Грама, найдите базис, взаимный с данным:
; 
; 
.
6. Найдите матрицу линейного оператора в в стандартном базисе, если 
7. Найдите матрицу оператора проецирования на прямую в в стандартном базисе и в базисе 
. Найдите матрицу оператора поворота вокруг начала координат на угол 
в в стандартном базисе и в базисе 
8. B пространстве 
найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора 
, его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.
9. Приведите матрицу к диагональному виду. Найдите матрицу перехода.
10. Линейный оператор , действующий в , переводит векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу сопряженного оператора в стандартном базисе и базисе .
, 
.
11. Используя ортогональное преобразование координатной плоскости, приведите уравнение кривой к каноническому виду. Постройте кривую.
а) 
б) 
Вариант № 5.
1..Найдите базис суммы и базис пересечения подпространств 
и 
.
2. В пространстве найдите матрицу перехода от базиса 
, 
к базису 
, .
3. Пусть скалярное произведение задано формулой 
При каком значении параметра расстояние между функциями 
достигает наименьшего значения?
4. В подпространстве, порожденном векторами 
, найдите ортогональный базис.
5. Используя матрицу Грама, найдите базис, взаимный с данным:
; ; 
.
6. Найдите матрицу линейного оператора в в стандартном базисе, если 
7. Найдите матрицу оператора симметрии относительно прямой в в стандартном базисе и в базисе 
. Найдите матрицу оператора поворота вокруг начала координат на угол 
в в стандартном базисе и в базисе 
8. B пространстве 
найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора 
, его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.
9. Приведите матрицу к диагональному виду. Найдите матрицу перехода.
10. Линейный оператор , действующий в , переводит векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу сопряженного оператора 
в стандартном базисе и базисе .
, 
.
11. Используя ортогональное преобразование координатной плоскости, приведите уравнение кривой к каноническому виду. Постройте кривую.
а) 
б) 
Варинт № 6.
1..Найдите базис суммы и базис пересечения подпространств 
и 
.
2. В пространстве найдите матрицу перехода от базиса 
, к базису 
, 
.
3. Пусть скалярное произведение задано формулой При каком значении параметра расстояние между функциями 
достигает наименьшего значения?
4. В подпространстве, порожденном векторами 
, найдите ортогональный базис.
5. Используя матрицу Грама, найдите базис, взаимный с данным:
; 
; 
.
6. Найдите матрицу линейного оператора в в стандартном базисе, если 
7. Найдите матрицу оператора проецирования на прямую в в стандартном базисе и в базисе 
. Найдите матрицу оператора поворота вокруг начала координат на угол 
в в стандартном базисе и в базисе .
8. B пространстве 
найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора 
, его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.
9. Приведите матрицу к диагональному виду. Найдите матрицу перехода.
10. Линейный оператор , действующий в , переводит векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу сопряженного оператора в стандартном базисе и базисе .
, 
11. Используя ортогональное преобразование координатной плоскости, приведите уравнение кривой к каноническому виду. Постройте кривую.
а) б) 
Вариант № 7.
1. Найдите базис суммы и базис пересечения подпространств 
и 
.
2. В пространстве найдите матрицу перехода от базиса 
, 
к базису 
, 
.
3. Пусть скалярное произведение задано формулой 
При каком значении параметра расстояние между функциями 
достигает наименьшего значения?
4. В подпространстве, порожденном векторами 
найдите ортогональный базис.
5. Используя матрицу Грама, найдите базис, взаимный с данным:
; 
; 
.
6. Найдите матрицу линейного оператора в в стандартном базисе, если 
7. Найдите матрицу оператора симметрии относительно прямой в в стандартном базисе и в базисе 
. Найдите матрицу оператора поворота вокруг начала координат на угол 
в в стандартном базисе и в базисе 
8. B пространстве 
найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора 
, его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.
9. Приведите матрицу к диагональному виду. Найдите матрицу перехода. 
10. Линейный оператор , действующий в , переводит векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу сопряженного оператора в стандартном базисе и базисе .
, 
11. Используя ортогональное преобразование координатной плоскости, приведите уравнение кривой к каноническому виду. Постройте кривую.
а) 
б) 
Вариант № 8.
1. Найдите базис суммы и базис пересечения подпространств 
и 
.
2. В пространстве найдите матрицу перехода от базиса , 
к базису , 
.
3. Пусть скалярное произведение задано формулой При каком значении параметра расстояние между функциями 
достигает наименьшего значения?
4. В подпространстве, порожденном векторами 
, найдите ортогональный базис.
5. Используя матрицу Грама, найдите базис, взаимный с данным:
; 
; 
.
6. Найдите матрицу линейного оператора в в стандартном базисе, если 
7. Найдите матрицу оператора проецирования на прямую в в стандартном базисе и в базисе 
. Найдите матрицу оператора поворота вокруг начала координат на угол 
в в стандартном базисе и в базисе 
8. B пространстве найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора , его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.
9. Приведите матрицу к диагональному виду. Найдите матрицу перехода.
10. Линейный оператор , действующий в , переводит векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу сопряженного оператора в стандартном базисе и базисе .
, 
11. Используя ортогональное преобразование координатной плоскости, приведите уравнение кривой к каноническому виду. Постройте кривую.
а) 
б) 
Вариант № 9.
1. Найдите базис суммы и базис пересечения подпространств 
и 
.
2. В пространстве найдите матрицу перехода от базиса 
, 
к базису 
, 
.
3. Пусть скалярное произведение задано формулой 
При каком значении параметра расстояние между функциями 
достигает наименьшего значения?
4. В подпространстве, порожденном векторами 
найдите ортогональный базис.
5. Используя матрицу Грама, найдите базис, взаимный с данным:
; 
; 
.
6. Найдите матрицу линейного оператора в в стандартном базисе, если 
7. Найдите матрицу оператора симметрии относительно прямой в в стандартном базисе и в базисе 
. Найдите матрицу оператора поворота вокруг начала координат на угол 
в 
в стандартном базисе и в базисе 
8. B пространстве 
найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора 
, его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.
9. Приведите матрицу к диагональному виду. Найдите матрицу перехода. 
10. Линейный оператор , действующий в , переводит векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу сопряженного оператора в стандартном базисе и базисе .
, 
.
11. Используя ортогональное преобразование координатной плоскости, приведите уравнение кривой к каноническому виду. Постройте кривую.
а) 
б) 
Вариант № 10.
1. Найдите базис суммы и базис пересечения подпространств 
и 
.
2. В пространстве найдите матрицу перехода от базиса 
, к базису 
, 
.
3. Пусть скалярное произведение задано формулой 
При каком значении параметра расстояние между функциями 
достигает наименьшего значения?
4. В подпространстве, порожденном векторами 
, найдите ортогональный базис.
5. Используя матрицу Грама, найдите базис, взаимный с данным:
; 
; 
.
6. Найдите матрицу линейного оператора в в стандартном базисе, если 
7. Найдите матрицу оператора проецирования на прямую в в стандартном базисе и в базисе 
. Найдите матрицу оператора поворота вокруг начала координат на угол 
в в стандартном базисе и в базисе 
8. B пространстве 
найдите (в данном базисе) характеристический многочлен оператора 
, его собственные числа и какой-нибудь собственный вектор.
9. Приведите матрицу к диагональному виду. Найдите матрицу перехода. 
10. Линейный оператор , действующий в , переводит векторы в векторы соответственно. Найдите матрицу сопряженного оператора в стандартном базисе и базисе .
, 
.
11. Используя ортогональное преобразование координатной плоскости, приведите уравнение кривой к каноническому виду. Постройте кривую.
а) 
б) 
О т в е т ы
1. а) Да. б) Нет. в) Да. г) Да. д) Нет. е) Да. 2. а) Да. б) Нет. в) Нет. г) Нет. 3. а) Да. б) Нет. в) Да. г) Да. 4. а) Нет. б) Да. в) Нет. г) Да. д) Да. е) Да. ж) Нет. 5. Да. 6. 
. 7. 
. 8. 
. 9. 
. 10. 
. 11. 
12. 
13. 
14. 
. 20. Да – для всех. 21. а)Да. б) Да. в) Да. г) Нет. д) Да.
е) Нет. ж) Нет. 22. а) Да, если 
; б) Да, если 
(
). 23. а) Нет; б) Нет – данное семейство линейно зависимо (ранг равен двум). 24. а) 
Базис тогда и только тогда, когда 
б) Базис тогда и только тогда, когда 
25. а) не образуют; б) не образуют.
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 31. 
, 
32. 
33. 
34. 
35. 
36. 
37. 
38. 
4 2. 
44. 
45. 
46. 
47. 
48. 
49. 
50. 
51. 
52. 
53. 
54. 
55. 
56. 
57. 
58. 
59. 
60. 
61. 
62. 
63. 
64. 
65. 
66. 
67. 
68. 
69. 
70. 
71. 
72. 
73. 
74. 
75. 
76. 
77. 
78. 
79. 
80. 
81. 
88. а) 
б) 
в) 
89. а) 
б) 
в) 
90. а) 
б) 
в) 
г) 
91. а) 
б) 
в) 
92. а) 
б) 
93. 
94. б) 
95. 
96. а) 
б) 
97. 
Указание: примените процедуру Грама – Шмидта к семейству векторов:
.
100. 
101. 
102. 
103. 
104. 
105. 
106. 
107. 
108. 
109. 
110. 
111. 
112. 
113. 
114. 
115. 
116. 
117. 
118. 
119. 
120. 
121. 
122. 
123. 
124. 
125. 
126. 
127. 
128. 
129 
135. 
136. 
137. 
138. 
139. 
140. 
141. 
собственные векторы имеют вид 
142. 
собственные векторы имеют вид 
143. 
собственные векторы имеют вид 
144. 
собственные векторы имеют вид 
145. 
собственные векторы имеют вид 
146. 
собственные векторы имеют вид 
147. 
собственные векторы имеют вид 
148. собственные векторы имеют вид 
149. 
собственные векторы имеют вид 
150. 
151. 
152. 
153. 
154. 
155. 
156.