Пример 4.2. Анализ параметров цепи в комплексной форме

Определим параметры цепи: e_(t), u_R(t), u_C(t), u_L(t), u_RL(t), u_LC(t), i_(t), S, P, Q

цепи в комплексной форме и построим векторную диаграмму параметров цепи.

Дано: u_RC(t) = 56, 4·sin(400t – 59^o);

R=8(Ом); L=0, 025(Гн); С=312(мкФ).

Решение:

X_L = jω L = 400·0, 025 = j10 (Ом);

X_C = 1/jω C = 10⁶/400·312 = – j8(Ом);

Ź = R+jx = 8+j10–j8 = (8+j2).

Вектор Z: Z = R²+Х ²·e ^jаrctgX/R = 8²+2² ·e ^jаrctg2/8 = 8, 246·e ^{j14, 03}˚ (Ом).

Определим Z _RC на участке цепи RC: Z _RC = R+X_C = (8–j8).

Вектор Z_RC = R²+(– Х_С²)· e ^{j arctg(–x/r)} = 11.31 · e ^{j arctg(–1)} = 11.31 · e ^–j45 ˚.

[u_RC(t) = U_mRC·sin(ω t – ψ _U^o)]; U_mRC = 56, 4 · e ^–j59 ˚; U_RC = 40 · e ^–j59 ˚.

[Ū _RC = 40cos-59˚ + j40 sin-59˚ = 40·0, 515-j40·0, 857 = (20, 6 – j34, 28)].

Ток в показательной форме: I = U_RC /Z_RC = 40· e^–j59 ˚ / 11, 31· e ^–j45 ˚ ≈ 3, 536· e ^–j14 ˚.

i_(t) = I_m sin(ω t – ψ i) = (1, 41· 3, 536)· e ^–j14 ˚ = 5· e ^–j14 ˚. i_(t) = 5· sin(400t–14˚).

U_L = I· Z_L = 3, 536· e ^–j14 ˚ · 10 e ^j90 ˚ = 35, 36 e ^j76 ˚ (B). Ū _L

u_L(t) = (2· 35, 35)· sin(400t +76˚) = 50 sin(400t +76˚) (B). E

U_C = I· Z_C = 3, 536· e ^–j14 ˚ · 8· e ^{– j90} ˚ = 28, 28· e ^{– j104˚} (B). U_R Ū _РЕАКТ

u_C(t) = (2· 28, 28)· sin(400t –104˚) = 40 sin(400t –104˚). Ū _C

U_R = I· Z_R = 3, 536· e^–j14 ˚ · 8 e ^j0 ˚ = 28, 28 e^{– j14˚} (B). Ū _РЕАКТ = (Ū _L–Ū _C)

u_R(t) = (2· 28, 28)· sin(400t –14˚) = 40 sin(400t –14˚) (B). Диагр. напряжений.

E = I· Z= 3, 536· e ^–j14 ˚ · 8, 246·e ^j14˚ = 29, 158 e ^j0 (B).

e_(t) = (2· 29, 158)· sin(400t ±0˚) = 41, 11sin 400t (B). [I’ – сопряженный ток ]

S = E· I’ = 29, 15 e ^j0 · 3, 53· e ^+j14 ˚ ≈ 103· e^{+ j14˚} . где: P = 100(Вт); Q = +24, 8 (ВАр).

P = S∙ cosφ = 103· 0, 97=100; Q = S∙ sinφ = 24, 8.

Построение векторной диаграммы (рис. 4.2, б).

Проверка правильности расчета:

1) Существует справедливость отношений:

8/2 = R/X = P/Q = (100/24, 8) ≈ 4/1.

2) S = I’ · (U _R + U _L + U _C) ≈ (100 + j25);

3) Ē = (U _R+ U _L+ U _C) = (27, 44-j6, 84)+(8, 55+j34, 3)+(-6, 84-j27, 44) ≈ (29, 15);

Значения тригонометрических функций приведены в приложении П2.