Раздел 1. Линейная алгебра.

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

С ЭЛЕМЕНТАМИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Организационно-методический раздел

Цель курса

Данный курс имеет целью ознакомить студентов с основами математического аппарата линейной алгебры и аналитической геометрии, необходимого при решении теоретических и практических задач по указанной специальности, выработать у студентов навыки к математическому исследованию экономических проблем.

Задача курса

Научить студентов действиям с матрицами, определителями, решать системы линейных уравнений, исследовать геометрические объекты на плоскости и в пространстве.

Место курса в профессиональной подготовке выпускника

Курс является обязательной дисциплиной и читается в первом семестре.

Требования к уровню освоения содержания курса

В результате освоения курса студент должен уметь выполнять действиями с матрицами, решать и исследовать системы линейных уравнений, вычислять определители, выполнять арифметические действия с комплексными числами, исследовать прямые и плоскости.

Содержание курса

Разделы курса

Раздел 1. Линейная алгебра

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Темы и краткое содержание

Раздел 1. Линейная алгебра.

Тема 1. Матрицы. Определение. Действия с матрицами, их свойства: равенство матриц, транспонирование, сложение, умножение матрицы на число, перемножение матриц. Обратная матрица, ее свойства. Элементарные преобразования матриц. Приведение квадратной матрицы к треугольному и диагональному виду. Приведенная матрица.

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричная запись системы: матрица системы, расширенная матрица системы. Определение решения и общего решения системы. Классификация систем в терминах количества решений. Равносильные системы. Элементарные преобразования систем, свойства преобразований. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Алгоритм нахождения обратной матрицы. Матричные уравнения.

Тема 3. Линейные пространства. Определение линейного пространства. Примеры. Пространство . Координаты вектора. Линейная комбинация векторов. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Критерий линейной зависимости и независимости системы векторов. Скалярное произведение векторов. Модуль (длина) вектора, угол между векторами. Ортогональные векторы. Базис в пространстве . Ранг матрицы.

Тема 4. Определители. Перестановки и подстановки, сигнатура и ее свойства.

Определители 1-ого, 2-ого, 3-ого порядка. Свойства определителя. Влияние элементарных преобразований матрицы на значение ее определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель треугольной и диагональной матриц.

Приложение теории определителей. Обратимость матриц. Присоединенная матрица. Схема Крамера решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей.

Тема 5. Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия с комплексными числами. Операция сопряжения. Геометрическая иллюстрация комплексных чисел.

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Тема 6. Собственные векторы и собственные значения. Определение собственного вектора и собственного значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы. Свойства собственных векторов.