Прямоугольная система координат на плоскости

ББК В151.54я73

© ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный
университет путей сообщения» (ДВГУПС), 2006

ВВЕДЕНИЕ

В методической разработке рассмотрены уравнения прямой на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат. Приведены задачи с подробным решением и задания для самостоятельной работы.

Пособие может быть использовано как на практических занятиях по математике и аналитической геометрии, так и в самостоятельной работе студентов при подготовке к экзамену.

ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ

Возьмем на плоскости произвольную прямую и отметим на этой прямой некоторую точку О, называемую началом отсчета. Теперь будем двигаться по прямой в одном из направлений от точки отсчета, считая это направление положительным (это положительное направление отмечают стрелкой). Тогда движение в противоположном направлении от точки О будет называться отрицательным. Прямая, на которой указано положительное направление, называется осью. Если теперь на оси выбрать единицу измерения, то мы получим числовую ось (каждому действительному числу будет соответствовать единственная точка числовой оси). Если числовая ось изображена горизонтальной линией, то положительным направлением обычно считают движение слева направо (рис. 1).

Теперь каждая точка на оси определяется числом, называемым координатой этой точки. На рис. 1 точка М имеет координату 3 (запись М(3)).

Для определения положения точки на плоскости одной оси недостаточно. Требуются две пересекающиеся оси с общим началом отсчета и одинаковой единицей измерения. Удобнее всего положение точки определять относительно двух взаимно перпендикулярных осей, называемых координатными осями. Одна из осей называется осьюабсцисс и обозначается ОХ, а другая – осью ординат и обозначается ОУ. Такая система координат ХОУ называется декартовыми прямоугольными координатами на плоскости. Обычно ось ОХ изображают горизонтально, а ось ОУ – вертикально (рис. 2).

Точка О называется началом координат. Координатные оси делят всю плоскость на четыре угла, которые называются либо координатными углами, либо квадрантами, либо четвертями. Квадранты нумеруются в направлении против часовой стрелки, как указано на рис. 2.

Первому квадранту соответствуют значения ;

второму квадранту – значения ;

третьему квадранту – значения ;

четвертому квадранту – значения .

Положение произвольной точки М на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат определяют следующим образом. Из точки М опускают перпендикуляр на ось ОХ и фиксируют точку на оси, соответствующую основанию перпендикуляра – это координата . Теперь опустим перпендикуляр на ось ОУ и получим координату . Эти два значения полностью определяют положение точки М на плоскости. Таким образом, точка М определена своими проекциями на координатныеоси. Указывая координаты точки, принято первой указывать координату , а второй – координату : . Пара, в которой определен порядок, называется упорядоченной. Пары (2–3) и (3–2) определяют разные точки плоскости. На рис. 2 это точки М и N соответственно. Если точка лежит на оси абсцисс ОХ, то ее координата (ордината) равна нулю. Если же точка лежит на оси ординат ОУ, то ее координата (абсцисса) равна нулю. На рис. 2 точки А и В имеют координаты А(0; 4), В(-3; 0). Начало координат точка О имеет нулевые координаты: О(0; 0).

Таким образом, каждой точке плоскости соответствует пара чисел – ее координаты. А каждой паре чисел соответствует единственная точка плоскости.

Метод координат позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами. Геометрия, использующая при решении задач такие методы, называется аналитической.