Состоящее из элементов, принадлежащих любым двум из трех множеств.

Состоящее из элементов, принадлежащих всем трем множествам,

Состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из трех множеств,

состоящее из элементов, принадлежащих любым двум из трех множеств.

Решение.

1)

A B

C U

2)

A B

C U

3)

A B

C U

2. Следующее множество задайте как множество всех значений переменной, удовлетворяющих некоторому свойству: {2, 4, 6, 8, …, 32}.

Решение.

A={xÎ N|x/2Î N, 2< x≤ 32}

A- множество всех натуральных четных чисел в промежутке от 2 до 32.

3. Даны множества X, Y. Множество U - универсальное множество. Построить множества:

X Ç Y, X È Y, X \ Y, Y \ X, XxY, YxX, X, Y, если X ={ 4, 10 }, Y = { 2, 6, 8 }, U = {1, 2,..., 10}.

Решение.

X Ç Y= - пересечение

X È Y={2, 4, 6, 8, 10} - объединение

X \ Y={4, 10} - разность

Y \ X={ 2, 6, 8 } - разность

XxY={(4, 2), (4, 6), (4, 8), (10, 2), (10, 6), (10, 8)} – прямое произведение

YxX={(2, 4), (2, 10), (6, 4), (6, 10), (8, 4), (8, 10)} – прямое произведение

X={1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9} - дополнение

Y={1, 3, 4, 5, 7, 9, 10} – дополнение

4. А, В, С - произвольные множества, U - универсальное множество. Проверить следующие равенства: а) (А \ В) È (A\ В) = (А È В) \ (А Ç В), б) А´ (BÇ C)=(А´ В) Ç (A´ C).

Решение.

а)

A B A B A B

U U U

A\B A A\B

A B A B A B

U U U

(А \ В) È (A\ В) А È В А Ç В

A B

U

(А È В) \ (А Ç В)

Ответ: Наглядно изобразив операции над множествами с помощью диаграмм Эйлера видим, что левая часть равенства не соответствует правой части, равенство (А \ В) È (A\ В) = (А È В) \ (А Ç В) неверно.

C C

x x

0 A 0 A

Ответ: Наглядно изобразив операции над множествами с помощью декартовой плоскости видим, что левая часть равенства соответствует правой части, равенство А ´ (B Ç C)=(А ´ В) Ç (A ´ C) верно.

5. Определить, в каком соотношении находятся множества X, Y, если: X=(А\В) È (`A\В), Y=(АÈ В)\(АÇ В).

Решение.

X:

A B A B A B

U U U

A\B A\В (А\В) È (`A\В)

Y:

A B A B A B

U U U

А È В А Ç В (А È В)\(А Ç В)

Ответ: X и Y находятся в общем положении.

6. Даны множества: X= {1, 2}, Y= {3, 6}. Перечислите элементы декартова произведения данных множеств и образуйте все подмножества полученного множества. Какое из подмножеств задает соответствие: а) «больше»; б) «меньше»; в) «меньше на 1»; г) «меньше в 3 раза»?

Решение.

1. Декартово произведение: XxY={(1, 3), (1, 6), (2, 3), (2, 6)}

|XxY|=4 - мощность

|P(XxY)|=2⁴=16 – количество подмножеств

Множество подмножеств: P(XxY)={Ø, {(1, 3)}, {(1, 6)}, {(2, 3)}, {(2, 6)}, {(1, 3), (1, 6)}, {(1, 3), (2, 3)}, {(1, 3), (2, 6)}, {(1, 6), (2, 3)}, {(1, 6), (2, 6)}, {(2, 3), (2, 6)}, {(1, 3), (1, 6), (2, 3)}, {(1, 3), (1, 6), (2, 6)}, {(1, 3), (2, 3), (2, 6)}, {(1, 6), (2, 3), (2, 6)}, {(1, 3), (1, 6), (2, 3), (2, 6)}}

а) соответствие «больше»: Ø

б) соответствие «меньше»: {(1, 3)}, {(1, 6)}, {(2, 3)}, {(2, 6)}, {(1, 3), (1, 6)}, {(1, 3), (2, 3)}, {(1, 3), (2, 6)}, {(1, 6), (2, 3)}, {(1, 6), (2, 6)}, {(2, 3), (2, 6)}, {(1, 3), (1, 6), (2, 3)}, {(1, 3), (1, 6), (2, 6)}, {(1, 3), (2, 3), (2, 6)}, {(1, 6), (2, 3), (2, 6)}, {(1, 3), (1, 6), (2, 3), (2, 6)}

в) соответствие «меньше на 1»: {(2, 3)}

г) соответствие «меньше в 3 раза»: {(1, 3)}, {(2, 6)}, {(1, 3), (2, 6)}

2. Декартово произведение: YxX={(3, 1), (6, 1), (3, 2), (6, 2)}

|YxX|=4 - мощность

|P(YxX)|=2⁴=16 – количество подмножеств

Множество подмножеств: P(YxX)={Ø, {(3, 1)}, {(6, 1)}, {(3, 2)}, {(6, 2)}, {(3, 1), (6, 1)}, {(3, 1), (3, 2)}, {(3, 1), (6, 2)}, {(6, 1), (3, 2)}, {(6, 1), (6, 2)}, {(3, 2), (6, 2)}, {(3, 1), (6, 1), (3, 2)}, {(3, 1), (6, 1), (6, 2)}, {(3, 1), (3, 2), (6, 2)}, {(6, 1), (3, 2), (6, 2)}, {(3, 1), (6, 1), (3, 2), (6, 2)}}

а) соответствие «больше»: {(3, 1)}, {(6, 1)}, {(3, 2)}, {(6, 2)}, {(3, 2), (6, 1)}, {(3, 1), (3, 2)}, {(3, 1), (6, 2)}, {(6, 1), (3, 2)}, {(6, 1), (6, 2)}, {(3, 2), (6, 2)}, {(3, 1), (6, 1), (3, 2)}, {(3, 1), (6, 1), (6, 2)}, {(3, 1), (3, 2), (6, 2)}, {(6, 1), (3, 2), (6, 2)}, {(3, 1), (6, 1), (3, 2), (6, 2)}

б) соответствие «меньше»: Ø

в) соответствие «меньше на 1»: {(3, 2)}

г) соответствие «меньше в 3 раза»: {(3, 1)}, {(6, 2)}, {(3, 1), (6, 2)}