Краткая теория. 1. Пусть функция задана на отрезке

1. Пусть функция задана на отрезке . Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками

В каждом из отрезков разбиения выберем произвольно точку и положим , где . Тогда сумма вида

(11.1)

называется интегральной суммой для функции на отрезке .

Пусть существует и конечен предел интегральной суммы (11.1) при стремлении к нулю длины максимального элементарного отрезка , не зависящий от способа разбиения отрезка на части и способа выбора точек на отрезках разбиения. Тогда функции называется интегрируемой на , а число - определенным интегралом от на , и обозначается :

(11.2)

Достаточным условием интегрируемости функции является ее непрерывность на рассматриваемом отрезке.

2. Свойства определенного интеграла:

1) где - некоторое число. (11.3)

2) . (11.4)

3) (11.5)

4) (11.6)

5 (11.7)

6) Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такое значение , что

(11.8)

7) Если функция - четная, то

(11.9)

Если функция – нечетная, то

(11.10)

8) Формула Ньютона –Лейбница. Определенный интеграл от непрерывной на отрезке функции равен приращению любой ее первообразной на этом отрезке:

, (11.11)

или

9) Замена переменной в определенном интеграле. Если функция имеет непрерывную производную на отрезке , и функция непрерывна в каждом точке , где , то

(11.12)

10) Интегрирование по частям определенного интеграла. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то

. (11.13)

11.1. Методы вычисления определенного интеграла

11.1. Вычислить определенные интегралы:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

Решение:

а) используя эквивалентное преобразование подынтегральной функции (почленное деление числителя на знаменатель) и свойства (11.3), (11.4) определенного интеграла, получаем

.

Все три интеграла – табличные; согласно (11.11), окончательно имеем:

.

б) Так как

то (см. (11.7))

в) Воспользуемся заменой переменной: пусть . Тогда . Найдем пределы интегрирования по переменной t: если , то ; если , то .Искомый интеграл теперь принимает вид:

.

г) Воспользуемся формулой (11.13) интегрирования по частям: пусть . Тогда , и (см .(10.13))

д) Как было отмечено выше (см. § 10.3), данный интеграл находиться с помощью последовательного применения формулы интегрирования по частям. Пусть . Тогда , и (см. (11.13)).

.

Для нахождения последнего интеграла вновь применяем формулу (11.13): , . Тогда , и

.

е) Воспользуемся тригонометрической подстановкой . Будем полагать, что . Если , то ; если , то . Тогда и

.

Так как при , . Применяя тригонометрическую формулу понижения степени, получаем:

Вычислить определенные интегралы:

11.2. . 11.3. . 11.4. . 11.5. .

11.6. . 11.7. . 11.8. . 11.9. .

11.10. . 11.11. . 11.12. . 11.13. .

11.14. . 11.15. . 11.16. . 11.17. .

11.18. . 11.19. . 11.20. . 11.21. .

11.22. . 11.23. . 11.24. . 11.25. .

11.26. . 11.27. . 11.28. . 11.29. .

11.2. Геометрические приложения определенного интеграла.