Отображения множеств

Пусть X и Y — два непустых множества.

Отображением f: X → Y (множества X во множество Y) называется тройка (X, Y, f). Здесь X, Y — два непустых множества, f – правило, сопоставляющее каждому элементу х ϵ X однозначно определенный элемент у = f(x) ϵ Y. Множество X называется областью определения отображения, элемент х ϵ X – аргументом отображения f, элемент f(x) ϵ Y – образом элемента х при отображении f. При этом пишут х → f(x). Часто, в случае когда множества X, Y –числовые, отображение называют функцией. Если только множество Y – числовое, то отображение называют функционалом.

Если А X, то f(A) = {f(x): x ϵ A} называется образом подмножества А при отображении f. Прообразом подмножества В Y называется множество {x ϵ X: f(x) ϵ B}, которое будем обозначать f^-1B. В частности, для В = {у} любой элемент из множества f^-1B({y}) называется прообразому.

Пример. Пусть X = Y = {1, 2, 3}. Отображение f: X → Y задано следующим образом:

f(1)=1; f(2)=1; f(3)=2.

Тогда f(X) = {1, 2}. У элемента 1 ϵ Y два прообраза — 1 и 2; у элемента 2 ϵ У один прообраз — 3; у элемента 3 ϵ Y прообразов нет.

Отображение f: X → Y называется сюръективным (или отображением «на»), если f (X) = Y, т. е. для каждого элемента из Y есть прообраз.

Отображение f: X→ Y называется инъективным (или отображением «в»), если из f(x) = f(x¹) следует, что х = x¹, т. е. для каждого элемента Y имеется не более одного прообраза.

Отображение f: X → Y называется биективным (или взаимно-однозначным), если это отображение одновременно и сюръективно, и инъективно, т. е. это отображение «на» и каждый элемент множества Y имеет ровно один прообраз. (Одно и то же правило соответствия может быть сюръективным, инъективным или биективным отображением в зависимости от исходных множеств X и У.)

Пример. Обозначим через R⁺ = {х ϵ R: х ≥ 0}. Рассмотрим следующие три отображения:

f: R→ R⁺ ; g: R⁺ → R; h: R⁺ → R⁺ ;

Эти отображения зададим одной формулой: f(x) = x²; g(x) =x²; h(x) = x². Они различны, так как различны исходные множества. При этом f является сюръективным, но не инъективным; g — инъективно, но не сюръективно; h — биективно.

Отображения вида f: X→ X называются преобразованиями множества X.

Тождественным преобразованием данного множества X называется преобразование е_х такое, что е_х (х) = х, х ϵ X.

Пусть f: X → Y и g: Y → Z – некоторые отображения. Суперпозицией этих отображений называется отображение gf: X → Z, определяемое следующим образом:

(gf)(x) = g(f(x)), x ϵ X.

Заметим, что суперпозиция определена не для любых пар отображений. Однако суперпозиция двух преобразований одного и того же множества определена всегда.

Пусть f: X → Y и g: Y → Х

Отображение g называется обратным к отображению f (а отображение f обратным к g), если fg = е_у; gf = е_х.

Если обратное отображение существует, то оно единственно. В самом деле, пусть f: X → Y — некоторое отображение множества X во множество Y и отображения g: Y → X и h: Y → X — отображения, обратные к f.

Тогда

(g(fh))(y) = (gе_у)(у) = g(у)

и ((gf)h)(y) = (е_хh)(y) = h(y).

Имеем g(fh) = (gf)h. Отсюда получаем g(у) = h(y), yϵ Y, т.е. отображения g и h совпадают.

Обратное отображение обозначается f ^-1. Оно существует не всегда. Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения дает следующая теорема.

Теорема. Отображение f имеет обратное тогда и только тогда, когда оно биективно.

Доказательство. Пусть f: X → Y.

1. Необходимость: Итак, пусть существует обратное отображение f ^-1 = g: Y → X.

Рассмотрим любой у ϵ Y и х = g(у). Тогда f(x) = f(g(y)) = у и х – прообраз у при отображении f. Таким образом, любой у ϵ Y имеет прообраз x, т. е. f сюръективно.

Далее, если x, х¹ϵ X, причем f(x) = f (х¹), то g(f(x)) = g(f(х¹)). Следовательно, т. е.

е_х(x)=е_х(х¹),

х = х¹ и f инъективно. Отсюда f биективно, и необходимость доказана.

2. Достаточность: Пусть f биективно.

Определим отображение g: Y → Х следующим образом. Положим g(у) = х, если f(x) = у. В силу биективности f отображение g определено на всем Y, и g = f ^-1.