Действия над двоичными числами

Все современные ЭВМ имеют достаточно развитую систему команд, включающую в свой состав десятки и сотни машинных операций. Однако выполнение любой операции основано на использовании простейших микроопераций типа сложение и сдвиг. Это позволяет иметь единое арифметико-логическое устройство для выполнения любых операций, связанных с обработкой информации. Правила сложения двоичных цифр двух чисел А и В представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Правила двоичного сложения

В таблице 1 показаны правила сложения двоичных цифр a_i, b_i одноименных разрядов с учетом возможных переносов из предыдущего разряда p_i-1.

Различают прямой код (ПК), обратный код (ОК) и дополнительный код (ДК) представления двоичных чисел.

Прямой код двоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (ноль или единица) перед его старшим числовым разрядом.

Например,

A ₍₁₀₎ = +10 A ₍₂₎ = +1010 [ A ₍₂₎]пк = 0|1010

B _{( 10 )} = -15 B ₍₂₎ = -1111 [ B ₍₂₎]пк = 1|1111

Под знак чисел отводится специальный знаковый разряд. Знак " +" кодируется двоичным нулем, а знак минус " -" - единицей. Вертикальной линией здесь отмечена условная граница, отделяющая знаковый разряд от значащих цифр.

Действия над прямыми кодами двоичных чисел при выполнении операций создают большие трудности, связанные с необходимостью учета значений знаковых разрядов:

во-первых, следует отдельно обрабатывать значащие информационные разряды чисел и разряды знака;

во-вторых, значение разряда знака влияет на алгоритм выполнения операции (сложение может заменяться вычитанием и наоборот). Во всех ЭВМ без исключения все операции выполняются над числами, представленными специальными машинными кодами. Их использование позволяет обрабатывать знаковые разряды чисел так же, как и значащие разряды и заменить операцию вычитания операцией сложения.

Обратный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на инверсные, то есть нули заменяются единицами, а единицы нулями. Например,

A ₍₁₀₎ = +5 A ₍₂₎ = +101 [ A ₍₂₎]пк = [ A ₍₂₎]ок = 0|101

B _{( 10 )} = -13 B _{( 2 )} = -1101 [ B ₍₂₎]ок = 1|0010

Свое название обратный код чисел получил потому, что коды цифр отрицательного числа заменены на инверсные. Укажем наиболее важные свойства обратного кода чисел:

1) сложение положительного числа А с его отрицательным значением в обратном коде дает так называемую машинную единицу обратного кода Меок = 1|111...11, состоящую из единиц в знаковом и значащих разрядах числа;

2) нуль в обратном коде имеет двоякое значение. Он может быть положительным – 0|00...0 и отрицательным числом – 1|11...11. Значение отрицательного нуля совпадает с МЕок.

Двойственное представление нуля явилось причиной того, что в современных ЭВМ все числа представляются не обратным, а дополнительным кодом. Кроме того, обратный код может требовать дополнительных фаз сложения.

Дополнительный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа с единицей младшего разряда (2⁰ - для целых чисел, 2^-k - для дробных). Например,

A ₍₁₀₎ = +19 A ₍₂₎ = +10011 [ A ₍₂₎]пк = [ A ₍₂₎]ок = [ A ₍₂₎]дк = 0|10011

B ₍₁₀₎ = -13 B ₍₂₎ = -1101 [ B ₍₂₎]дк = [ B ₍₂₎]ок + 2⁰ = 1|0010+1 = 1|0011

Основное свойство дополнительного кода: сложение дополнительных кодов положительного числа и противоположного ему отрицательного дает так называемую машинную единицу числа дополнительного кода Медк = МЕок+2⁰ =10|00...00, то есть число 10 (два) в знаковых разрядах числа.

Дополнительный код получил такое название потому, что представление отрицательных чисел является дополнением прямого кода чисел до машинной единицы МЕдк.

Операция вычитания двоичных чисел приводится к операции сложения путем преобразования чисел в обратный или дополнительный код. Пусть числа А > 0 и В > 0, тогда операция алгебраического сложения выполняется в соответствии с таблицей 2.

Таблица 2 - Алгебраическое сложение

Скобки в представленных выражениях указывают на замену операции вычитания операцией сложения с обратным или дополнительным кодом соответствующего числа.

Сложение двоичных чисел осуществляется последовательно, поразрядно в соответствии с таблицей 2. При выполнении сложения чисел необходимо соблюдать следующие правила:

1) слагаемые должны иметь одинаковое число разрядов. Для выравнивания разрядной сетки слагаемых можно дописывать незначащие нули слева к целой части числа и незначащие нули справа к дробной части числа. В схемах ЭВМ это делается автоматически;

2) знаковые разряды чисел участвуют в сложении так же, как и значащие, информационные;

3) необходимые преобразования кодов производятся с изменением знаков чисел. Приписанные незначащие нули изменяют свое значение при преобразованиях по общему правилу;

4) при образовании единицы переноса из старшего знакового разряда, в случае использования МЕ_ОК, эта единица складывается с младшим числовым разрядом. При использовании МЕ_ДК единица переноса теряется. Знак результата формируется автоматически, результат представляется в том коде, в котором представлены исходные слагаемые.

Выполним сложение двух чисел A ₍₁₀₎ = 7 и B ₍₁₀₎ = 16 в двоичной системе счисления.

1 Переведем эти числа в двоичную систему:

A ₍₂₎ = +111 B _{(2 )} = +10000

2 Запишем прямые, обратные и дополнительные коды чисел. Исходные числа имеют различную разрядность, поэтому необходимо провести выравнивание разрядной сетки:

[ A ₍₂₎ ]пк = [ A ₍₂₎ ]ок = [ A ₍₂₎]дк = 0|00111

[ B ₍₂₎ ]пк = [ B ₍₂₎ ]ок = [ B ₍₂₎ ]дк = 0|10000

3 Сложение в обратном или дополнительном кодах даст один и тот же результат:

0|00111

+0|10000

С₍₂₎ = 0|10111 С ₍₁₀₎ = + 23

Обратим внимание, что при сложении чисел отсутствуют переносы в знаковый разряд и из знакового разряда, что свидетельствует о получении правильного результата.

Выполним вычитание чисел A ₍₁₀₎ = +16 и B _{( 10 )} = 7.

В соответствии с таблицей надо выполнить преобразование А - В = А + (-В).

[ A ₍₂₎ ]пк = [ A ₍₂₎ ]ок = [ A ₍₂₎]дк = 0|10000

[- B ₍₂₎ ]пк = 1|111 = 1|00111 [- B ₍₂₎]ок=1|11000 [- B _{( 2 )}]дк=1|11001