Контрольная работа

по дисциплине «СТАТИСТИКА»

Вариант № 8

Рыбинск 2015 г.

Задание №1

По ряду магазинов получены данные, представлены в таблице А4 приложения А. Постройте ряд распределения магазинов по числу посетителей, образовав четыре группы с равными закрытыми интервалами. Охарактеризуйте ряд общим и средним объемом выручки. Рассчитайте по полученным данным среднюю, модальную и медианную численность посетителей магазинов, показатели вариации. Представьте ряд распределения графически при помощи гистограммы, кумуляты и огивы распределения.

Сделайте выводы.

Таблица А4 – Результаты работы магазинов

Построим ряд распределения магазинов по числу посетителей. Образуем четыре группы с равными закрытыми интервалами. Величину интервала определим по формуле

.

.

Обозначим границы групп:

410-560 - 1 группа

560-710 - 2 группа

710-860 - 3 группа

860-1010 - 4 группа

Теперь подсчитаем количество магазинов в каждой группе:

Таблица 3 – Разработочная таблица группировки магазинов по числу посетителей

Таблица 4 – Группировка магазинов по числу посетителей

К первой группе относятся магазины с числом покупателей от 410 до 560 человек. Всего в этой группе 5 магазинов, их общая выручка составляет 1015, 5 тыс. руб., а общее число посетителей равно 2407 человек, т.е. выручка от 1 посетителя составляет в среднем 0, 422 тыс. руб.

Во второй группе магазины с числом покупателей от 560 до 710 человек, к этой группе относятся 3 магазина. Общая выручка всех магазинов в данной группе составляет 680, 5 тыс. руб., а число посетителей равно 1907 человек, т.е. средняя выручка на 1 посетителя составляет 0, 357 тыс. руб.

Третья группа включает в себя магазины с числом посетителей от 710 до 860 человек. К этой группе относится 5 магазинов, общая величина выручки в этой группе составляет 1414, 2 тыс. руб., а число посетителей 3897 человек, т.е. средняя выручка на 1 посетителя составляет 0, 363 тыс. руб.

В группу с выручкой от 860 до 1010 человек относится 7 магазинов, их общая выручка составляет 2190, 3 тыс. руб., а общее количество посетителей 6402 человека, т.е. средняя выручка на 1 посетителя составляет 0, 342 тыс. руб.

Выручка всех магазинов вместе составляет 5300, 5 тыс. руб., а общее количество посетителей – 14613 человек. В среднем по всем магазинам выручка на одного посетителя составляет 0, 363 тыс. руб.

Таблица 5 – Группировка магазинов по числу посетителей

Из таблицы 5 видно, что преобладают магазины с большим числом посетителей, их удельный вес равен 35%. Величина выручки этих магазинов составляет 41, 32% от общей выручки всех магазинов, а количество посетителей 43, 81% от общего числа посетителей.

Рассчитаем средние показатели в каждой группе с помощью формулы средней арифметической:

Таблица 6 – Средние показатели в каждой группе

Средняя выручка по всем группам составляет 265, 03 тыс. руб., а среднее число посетителей равно 731 человек.

В первой и второй группах средняя выручка и среднее число посетителей меньше средних показателей по всем магазинам. Так в первой группе средняя выручка составила 203, 1 тыс. руб., а среднее число посетителей 481 человек, во второй группе эти показатели равны 226, 83 тыс. руб. и 636 человек соответственно.

Представим ряд распределения графически при помощи гистограммы, кумуляты и огивы распределения.

Рисунок 2 – гистограмма распределения магазинов по числу посетителей

Для построения кумуляты распределения составим таблицу 7, в которой посчитаем накопленные частоты.

Таблица 7 – Распределение магазинов по числу посетителей

Рисунок 3 – Кумулята распределения магазинов по числу посетителей

Рисунок 4 – Огива распределения магазинов по числу посетителей

Рассчитаем по полученным данным среднюю, модальную и медианную выручку магазинов, показатели вариации.

Средняя арифметическая рассчитывается по формуле арифметической взвешенной на основе частостей: , где , m - число групп.

Таблица 8 – Расчетная таблица для определения средней арифметической взвешенной.

Разделим ∑ x’_id_i на сумму весов (∑ d_i =100%), чтобы получить искомую среднюю () величину:

чел.

Мода рассчитывается по формуле:

где х_о – нижняя граница модального интервала;

i – величина модального интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

f_Mо-1 – частота модального интервала, предшествующего модальному;

f_Mо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Для расчета моды и медианы составим таблицу 9.

Таблица 9 – Расчетная таблица для определения моды и медианы

Подставим значения из таблицы в формулу и рассчитаем моду:

.

Для расчета медианы сначала определим номер медианы по формуле :

.

Накопленная частота S приходится на интервал 710-860.

Медиана рассчитывается по формуле ,

где x₀ и i - соответственно нижняя граница и величина медианного интервала;

f_Me – частота медианного интервала;

S_Me-1 – кумутативная частота предмедианного интервала.

Подставим значения из таблицы 9 в данную формулу:

.

К показателям вариации относятся:

- размах вариации: R=x_max – x_min;

- среднее линейное отклонение: ;

- дисперсия: ;

- среднее квадратическое отклонение: ;

- коэффициент осциляции: ;

- линейный коэффициент вариации: ;

- коэффициент вариации: .

Рассчитаем данные коэффициенты:

Размах вариации: R =1010-410=600 чел.

Для расчета среднего линейного отклонения, дисперсии и среднего квадратического отклонения составим таблицу 10.

Таблица 10 – Расчетная таблица для определения показателей вариации

Число посетителей хi	Число мага- зинов fi	Середина интервала x’i	x'ifi
410-560
560-710
710-860
860-1010
Итого		-		-		-

Подставив значения из таблицы в формулы получим:

Среднее линейное отклонение: ;

Дисперсия: ;

Среднее квадратическое отклонение: ;

Коэффициент осциляции: ;

Линейный коэффициент вариации: ;

Коэффициент вариации: .

Среднее число посетителей магазина по результатам группировки равно 740 человек. Мода равна 893 человека, эта величина говорит о том, что наиболее часто встречающееся число посетителей находится в интервале 860-1010 человек. Медиана равна 733 человека. Она показывает число посетителей, которое делит все магазины на две половины, т.е. одна половина магазинов имеет количество посетителей до 733 человек, а другая половина магазинов больше 733 человек.

Размах вариации 600 человек., этот показатель показывает разницу между самым большим и самым маленьким количеством посетителей.

Среднее линейное отклонение является обобщающем мерой вариации индивидуальных значений признака от средней арифметической величины, он равен 159 человек.

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения. Он равен 178 человек.

Коэффициент осцилляции отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней, т.е. 81, 08%.

Линейный коэффициент вариации характеризует долю усредненного значения абсолютного отклонения от средней величины, т.е. 21, 49%.

Коэффициент вариации позволяет судить об однородности совокупности:

– < 17% – абсолютно однородная;

– 17–33%% – достаточно однородная;

– 35–40%% – недостаточно однородная;

– 40–60%% – это говорит о большой колеблемости совокупности.

В нашем случае коэффициент вариации равен 24, 07%, т.е. совокупность достаточно однородная.

Задание 2.

По ряду предприятий получены данные, представленные в таблице А1 приложения А. Определите тесноту и характер связи между объемом произведенной продукции и стоимостью основных средств предприятия на основе расчета коэффициента корреляции и нахождения уравнения парной линейной регрессии. Постройте поле корреляции и теоретическую линию регрессии. Сделайте выводы.

Таблица А1 – Показатели деятельности предприятий

Теснота связи при линейной зависимости измеряется с помощью линейного коэффициента корреляции. В качестве признака-фактора в данном случае стоимость основных средств. Таким образом, результативным признаком будет объем произведенной продукции.

Для облегчения расчетов построим расчетную таблицу (Таблица 1).

Таблица 1 - Расчетные данные для определения коэффициента корреляции

Вычислим данный коэффициент по формуле :

;

.

.

Линейный коэффициент корреляции равен 0, 887, т.е. он находится в интервале от 0 до 1, это говорит о том, что связь прямая, сильная. Значит, при увеличении признака-фактора увеличивается результативный признак.

Решив систему нормальных уравнений, определим параметры уравнения прямой на основе метода наименьших квадратов:

Решение системы уравнений позволяет получить выражения для параметров а₀ и а₁:

Подставим наши значения в формулы и вычислим а₀ и а₁:

Таким образом:

а₀ = 1, 2906;

а₁ =0, 0079.

Подставим эти значения в уравнение: ȳ _х=а₀-а₁х.

Получаем: ȳ _х= 1, 2906-0, 0079 х.

Исходные данные и расчетные показатели представим в таблице 2.

Таблица 2 – Расчетная таблица для определения параметров уравнения регрессии зависимости между числом посетителей и суммой выручки магазинов

Наблюдение	Основные средства (тыс. руб.) х	Объем произведенной продукции, млн. руб.за год у	ху	х2
		5, 6	2066, 4		4, 21
		7, 6	3594, 8		5, 03
		4, 4	1104, 4		3, 27
		5, 2			3, 50
		8, 0			5, 95
		9, 6			10, 77
		3, 1			2, 55
		5, 7			5, 08
		8, 2			8, 95
		4, 4			4, 45
		1, 0			2, 25
		9, 9			8, 40
		8, 7			6, 58
		4, 1			5, 24
		3, 1	1174, 9		4, 28
		4, 1	1049, 6		3, 31
		3, 7			3, 03
		3, 3			3, 19
		2, 1	222, 6		2, 13
		1, 6			2, 71
		3, 0			3, 27
		2, 4			3, 11
		2, 4			4, 21
		2, 3			4, 06
		1, 5	187, 5		2, 28
		1, 3			2, 40
		9, 2			10, 38
		6, 5			7, 53
		3, 4			3, 58
		3, 2			3, 46
Итого		138, 6	79605, 2		139, 17

Изобразим графически поле корреляции и полученную линию регрессии на рисунке 1.

Рисунок 1 – Поле корреляции и теоретическая линия регрессии

Связь между количеством стоимостью основных средств и объемом произведенной продукции является прямой, сильной, т.к. коэффициент парной корреляции равен 0, 887.

Коэффициент регрессии а ₁ показывает абсолютную силу связи между вариацией x и вариацией y. Можно сказать, что при изменении стоимости основных средств на 1 тысячу рублей объем произведенной продукции увеличится в среднем на 7, 9 тысяч рублей.

Эта связь наглядно показана на рисунке 1: линия регрессии и точки поля корреляции находятся очень близко друг к другу.

Задание №3

В таблице 9 представлены данные о затратах и объеме выпуска продукции неким предприятием. Определите:

1) индивидуальные индексы себестоимости, физического объема продукции и общих издержек производства;

2) общие индексы себестоимости, физического объема продукции и общих издержек производства;

3) абсолютное изменение затрат на производство;

4) абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения себестоимости и количества произведенной продукции.

Сделайте выводы.

Таблица 9 – Данные о производстве продукции

Решение

Индивидуальные индексы получают в результате сравнения однотоварных явлений.

Индивидуальные индексы представляют собой относительные величины динамики, выполнения плана, сравнения, и их расчет не требует знания специальных правил.

В зависимости от экономического назначения индивидуальные индексы бывают: физического объема продукции, себестоимости, цен, трудоемкости и т.д.

Индекс физического объема продукции i_q рассчитывается по формуле:

.

Этот индекс показывает, во сколько раз возрос (уменьшился) выпуск какого-либо одного товара в отчетном периоде по сравнению с базисным, или сколько процентов составляет рост (снижение) выпуска товара. Если из значения индекса, выраженного в процентах, вычесть 100%, то полученная величина покажет, на сколько процентов возрос (уменьшился) выпуск продукции. В знаменателе может быть не только количество продукции, произведенной за какой-то предыдущий период, но и плановое значение (q_ПЛ), нормативное (q_Н) или эталонное значение, принятое за базу сравнения (q_Э).

Индекс других показателей строятся аналогично.

Индивидуальный индекс себестоимости единицы продукции , показывает изменение себестоимости единицы продукции в текущем периоде по сравнению с базисным.

Индивидуальный индекс издержек (затрат) на производство рассчитывается по формуле: .

В экономических расчетах чаще всего используются общие индексы, которые характеризуют изменение совокупности в целом.

Сводный индекс физического объема продукции, взвешенной по себестоимости, имеет следующий вид: .

Сводный индекс себестоимости характеризует изменение себестоимости нескольких видов продукции, выпускаемых предприятием. Он рассчитывается по формуле: .

Третьим показателем в данной индексной системе является сводный индекс затрат на производство: .

Все три индекса взаимосвязаны между собой: .

Для оценки изменения абсолютного значения себестоимости всей продукции (работ, услуг) исчисляют изменение затрат отчетного периода по сравнению с базисным периодом: .

Абсолютный размер экономии (-) или перерасхода (+) от изменения себестоимости равен: .

Абсолютный размер экономии (-) или перерасхода (+) за счет изменения объема вырабатываемой продукции равен: .

.

Для расчета вышеперечисленных индексов занесем исходные данные в таблицу 1.

Таблица 1 – Расчетная таблица для определения индивидуальных и общих индексов.

С помощью таблицы 1 рассчитаем индивидуальные и общие индексы себестоимости, физического объема и общих издержек производства. Все расчеты представим в таблице 2.

Таблица 2 – Индивидуальные и общие индексы себестоимости, физического объема и общих издержек производства.

Все три общих индекса взаимосвязаны между собой:

0, 846*1, 061=0, 897.

Абсолютного изменение затрат на производство:

д.е.

Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения себестоимости произведенной продукции:

д.е.

Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения количества произведенной продукции:

д.е.

.

Индекс физического объема произведенной продукции показывает во сколько раз возрос (уменьшился) выпуск какого-либо одного товара в отчетном периоде по сравнению с базисным. Из таблицы 2 видно, что выпуск продукции А возрос в 1, 074 раз, продукции Б возрос в 1, 018 раз, продукции В возрос в 1, 111 раз, продукции Г в 1, 091 раз. Общий индекс физического объема продукции составил 1, 061. Это говорит нам о том, что издержки производства продукции возросли в результате уменьшения объема ее производства.

Индекс себестоимости произведенной продукции показывает изменение себестоимости единицы продукции в текущем периоде по сравнению с базисным. В нашем случае себестоимость продукции в июне по сравнению с маем уменьшилась по всем видам продукции, т.е. продукции А в 0, 857 раз, продукции Б в 0, 75 раз, продукции В в 0, 947 раз, продукции Г в 0, 925 раз. Общий индекс себестоимости показывает во сколько раз изменились издержки производства продукции в результате изменения себестоимости продукции. Общий индекс себестоимости составил 0, 846.

Индекс общих издержек производства продукции А и Б равен соответственно 0, 921 и 0, 763. Это говорит о том, что общие затраты на производство данных видов продукции сократились. В тоже время индекс общих издержек производства продукции В и Г равен соответственно1, 053 и 1, 009, т.е. общие затраты на производство этих видов продукции увеличились. Общий индекс затрат на производство всех видов продукции составил 0, 897, т.е. общие затраты в целом по четырем видам продукции сократились в июне по сравнению с маем.

Абсолютное изменение затрат на производство составило -4605 д.е., т.е. абсолютная экономия составила 4605 д.е.. В том числе за счет изменения себестоимости абсолютная экономия составила 7320 д.е.. Перерасход затрат на производство продукции составил 2715 д.е., это произошло из-за уменьшения количества произведенной продукции.

Список источников

1. Теория статистики: Учебник/Р.А.Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова, Е.Б. Шувалова; Под ред. Р.А. Шмойловой. – 6-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2010.

2. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие/ Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова/Под ред. Р.А.Шмойловой. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и статистика, 2005.