Нормальное распределение как стандарт

Каждому психологическому (или шире — биологическому) свойству соот­ветствует свое распределение в генеральной совокупности. Чаще всего оно является нормальным и характеризуется своими параметрами: средним (М) и стандартным отклонением (q). Только эти два значения отличают друг от дру­га бесконечное множество нормальных кривых, одинаковой формы, задан­ной уравнением (5.1). Среднее задает положение кривой на числовой оси и выступает как некоторая исходная, нормативная величина измерения. Стандар­тное отклонение задает ширину этой кривой, зависит от единиц измерения и выступает как масштаб измерения (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Семейство нормальных кривых, 1-е распределение отличается от 2-го стандарт­ным отклонением (q₁ < q₂), 2-е от 3-го средним арифметическим (М_г < М₃)

Все многообразие нормальных распределений может быть сведено к од­ной кривой, если применить z-преобразование (по формуле 4.8) ко всем воз­можным измерениям свойств. Тогда каждое свойство будет иметь среднее 0 и стандартное отклонение 1. На рис. 5.4 построен график нормального распре­деления для М= О и q = 1. Это и есть единичное нормальное распределение, кото­рое используется как стандарт — эталон. Рассмотрим его важные свойства.

- Единицей измерения единичного нормального распределения являет­ся стандартное отклонение.

- Кривая приближается к оси Z по краям асимптотически — никогда не касаясь ее.

- Кривая симметрична относительно М= 0. Ее асимметрия и эксцесс рав­ны нулю.

- Кривая имеет характерный изгиб: точка перегиба лежит точно на рас­стоянии в одну о от М.

- Площадь между кривой и осью Z равна 1.

Последнее свойство объясняет название единичное нормальное распреде­ление и имеет исключительно важное значение. Благодаря этому свойству площадь под кривой интерпретируется как вероятность, или относительная частота. Действительно, вся площадь под кривой соответствует вероятности того, что признак примет любое значение из всего диапазона его изменчиво­сти (от - ∞ до +∞). Площадь под единичной нормальной кривой слева или справа от нулевой точки равна 0, 5. Это соответствует тому, что половина ге­неральной совокупности имеет значение признака больше 0, а половина — меньше 0. Относительная частота встречаемости в генеральной совокупнос­ти значений признака в диапазоне от z₁ до z₂ равна площади под кривой, ле­жащей между соответствующими точками. Отметим еще раз, что любое нор­мальное распределение может быть сведено к единичному нормальному распределению путем z-преобразования.

34, 13% 13, 59% 2, 14% 0, 14%

95, 44%

99, 72%

Рис. 5.4. Стандартное нормальное распределение

Таким образом:

- если х_i имеет нормальное распределение со средним М и стандартным отклонением q, то z = (х-М_х)/q характеризуется единичным нормаль­ным распределением со средним 0 и стандартным отклонением 1;

- площадь между х₁ и х₂ в нормальном распределении со средним М_х и стандартным отклонением q равна площади между z₁ =(х₁ — М_х)/q и z₂ =(x₂ – M_x)/q в единичном нормальном распределении.

Итак, наиболее важным общим свойством разных кривых нормального распределения является одинаковая доля площади под кривой между одни­ми и теми же двумя значениями признака, выраженными в единицах стан­дартного отклонения.

Полезно помнить, что для любого нормального распределения существу­ют следующие соответствия между диапазонами значений и площадью под кривой:

М ±q соответствует «68% (точно — 68, 26%) площади;

М±2q соответствует «95% (точно — 95, 44%) площади;

М±3q соответствует «100% (точно — 99, 72%) площади.

Единичное нормальное распределение устанавливает четкую взаимосвязь стандартного отклонения и относительного количества случаев в генераль­ной совокупности для любого нормального распределения. Например, зная свойства единичного нормального распределения, мы можем ответить на сле­дующие вопросы. Какая доля генеральной совокупности имеет выраженность свойства от —1q до +1q? Или какова вероятность того, что случайно выбран­ный представитель генеральной совокупности будет иметь выраженность свойства, на Зq превышающую среднее значение? В первом случае ответом будет 68, 26% всей генеральной совокупности, так как от—1 до+1 содержится 0, 6826 площади единичного нормального распределения. Во втором случае ответ: (100-99, 72)/2 = 0, 14%.

Полезно знать, что если распределение является нормальным, то:

90% всех случаев располагается в диапазоне значений М± 1, 64q;

95% всех случаев располагается в диапазоне значений М± 1, 96q;

99% всех случаев располагается в диапазоне значений М± 2, 58q.

Существует специальная таблица, позволяющая определять площадь под кривой справа от любого положительного z (приложение 1). Пользуясь ею, можно определить вероятность встречаемости значений признака из любого диапазона. Это широко используется при интерпретации данных тестирования.

ПРИМЕРЫ

1. Значение IQ по шкале Векслера (М= 100; q = 15) некоторого тестируемого рав­но 125. Вопрос о степени выраженности интеллекта у данного индивидуума пе­реформулируем следующим образом: насколько часто или редко встречаются зна­чения IQ ниже или выше 125? Решение. Перейдем от шкалы IQ к единицам

стандартного отклонения (z-значениям): z= (125 -100)/15 = 1, 66. По таблице из приложения 1 находим площадь под кривой справа от этого значения, она рав­на 0, 0485. Это значит, что IQ 125 и выше встречается довольно редко — менее, чем в 5% случаев.

2. Какова вероятность того, что случайно выбранный человек будет иметь IQ по шкале Векслера в диапазоне от 100 до 120? Решение. В единицах стандартного отклонения z₁= 0, 0; Z₂ = 1, 333. Площадь справа от z₁ - 0, 5, справа от z₂ — при­мерно 0, 0918, следовательно, площадь между z₁ и z₂ равна 0, 5-0, 0918 = 0, 4082. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранный человек будет иметь IQ в диапазоне от 100 до 120, равна примерно 0, 41.

Несмотря на исходный постулат, в соответствии с которым свойства в ге­неральной совокупности имеют нормальное распределение, реальные дан­ные, полученные на выборке, нечасто распределены нормально. Более того, разработано множество методов, позволяющих анализировать данные без всякого предположения о характере их распределения как в выборке, так и в генеральной совокупности. Эти обстоятельства иногда приводят к ложному убеждению, что нормальное распределение — пустая математическая аб­стракция, не имеющая отношения к психологии. Тем не менее, как мы уви­дим в дальнейшем, можно указать по крайней мере на три важных аспекта применения нормального распределения:

1.Разработка тестовых шкал.

2.Проверка нормальности выборочного распределения для принятия ре­шения о том, в какой шкале измерен признак — в метрической или по­рядковой.

3.Статистическая проверка гипотез, в частности — при определении риска принятия неверного решения.