Практичне застосування методу множників Лагранжа

Розглянемо економічний зміст множників Лагранжа. Для цього розглянемо задачу нелінійного програмування з визначення оптимального плану виробництва продукції при обмежених ресурсах:

Головною метою виробництва продукції є отримання найбільшого прибутку від її реалізації, тому цільовою функцією Z завдання є прибуток від реалізації продукції обсягом Х=(х₁, х₂,..., х_n) одиниць. При цьому функція f(х₁, х₂,...х_n) – нелінійна.

Запишемо систему обмежень

у вигляді

Якщо – обсяг сировини і-го виду, який використовується для виробництва всієї продукції, то d_і(X) – залишок цього ресурсу після її виробництва. Якщо d_і(X)=0, то сировину використано повністю; якщо d_і(X)> 0, то на виробництво продукції використано не всю сировину; якщо d_і(X) < 0, то наявної сировини не вистачить на виробництво продукції.

Розглянемо функцію Лагранжа для даної задачі:

Отже, тобто ця похідна показує, як змінюється значення цільової функції залежно від обмежень. Множники Лагранжа є подвійними змінними задачі про використання ресурсів. Вони можуть бути ціною, за яку на ринку продається або купується одиниця і-го виду сировини. Якщо і d_і(X)> 0, то можна продати залишки сировини і отримати додатковий прибуток у розмірі . Якщо ж d_і(X)< 0, то можна купувати потрібну кількість, витратив грошових одиниць і забезпечити виробництво продукції обсягом Х=(х₁, х₂,..., х_n). Функцію Лагранжа можна трактувати як загальний прибуток від виробництва, який містить прибуток від реалізації виготовленої продукції f (x) і прибуток від продажу залишків сировини (або витрати на придбання потрібної кількості сировини) .

Приклад. Фірма планує витратити 20000 грн. на рекламу. Одна хвилина реклами на телебаченні коштує 1000 грн., а на радіо – 500 грн. Аналітики фірми прогнозують збільшення приросту доходу фірми від використання рекламних засобів за функцією:

де Z(x, y) – приріст доходу фірми (тис. грн.) від реклами;

х – тривалість (хв.) рекламного ролика на телебаченні;

y – тривалість (хв.) рекламного ролика на радіо.

Яким чином потрібно з'єднати рекламу на телебаченні і радіо, щоб отримати максимальне значення приросту доходу фірми, економно використавши при цьому наявні грошові кошти на рекламу?

Рішення. Цільова функція – це максимум приросту доходу фірми.

при виконанні таких умов:

а) за наявністю грошових коштів на рекламу:

1000 x + 500 y = 20000;

б) відносно невід’ємності змінних: .

Оптимальне рішення знаходимо за допомогою методу множників Лагранжа.

Функція Лагранжа набуває вигляду:

Приватні похідні прирівнюємо до нуля:

Отримаємо систему рівнянь:

Зробимо відповідні перетворення:

Складемо перші рівняння останньої системи та отримаємо:

Рішення систему рівнянь:

Переконаємося, чи досягає наша функція екстремального значення в знайденій точці. Для цього на основі вищезгаданої теореми знайдемо приватні похідні першого порядку заданої функції:

Знайдемо приватні похідні другого порядку:

Отже

Згідно з умовою теореми стверджуємо, що точка з координатами буде точкою максимуму функції. Максимальне значення функції:

Фірма отримає додатковий дохід від використання реклами у розмірі 28 4/7 тис. грн. якщо гроші, призначені на рекламу, будуть використані на 14 2/7 хв. реклами на телебаченні та 11 3/7 хв. – на радіо.

Питання для самоконтролю:

1. Які задачі відносяться до задач нелінійного програмування?

2. Охарактеризуйте економічну сутність методу множників Логранжа.

3. Наведіть практичні аспекти застосування методу множників Логранжа.

Рекомендована література:

основна: [1, 2, 4, 5, 6, 9];

додаткова: [3, 7, 8, 10-21].